functor：意味を表現する方法

【 意味の世界はどこにある？ 】

大規模言語モデルは、言語の意味を理解しているように見えます。それでは、大規模言語モデルが理解しているように見える「意味の世界」はどこにあるのでしょう？

先のセッションでは、言語を語の並びである表現の集まりだと考えれば、文字列の包含関係で preorder の順序が定義でき、それは category としても考えられるという話をしました。

ただ、この言語のcategory L をいくら眺めても、そこにあるのは、具体的な文字列や語や表現だけで、どこにも意味は見当たりません。

【 意味を表現する方法を考える 】

これまでの流れで考えてみると、言語のcategory Lとは別に、言語の意味を表現するcategory M (meaningのMです）が存在すると考えるのが自然なアプローチだと思います。

ただ、この二つのcategory L, Mは、別々バラバラなものではなく結びついていて、言語のcategory Lが与えられるとその言語の意味のcategory Mが生み出されるという関連があるはずです。

もし、意味のcategory Mがうまく定義できるなら、言語のcategory Lと意味のcategory M を結びつけることで、言語の意味の表現ができそうです。

もっとも、この段階では 「LとMを結びつけられたらいいかも」と言っているだけで、意味のcategory Mがどんなものかは何もわかっていません。意味のcategory Mをどう構成すればいいかは、次回のセッションでもう少し具体的に触れていきたいと思います。

今回のセッションでは、「category とcategoryを結ぶ」ということを、考えてみたいと思います。

【 functor -- categoryとcategoryを結ぶ 】

カテゴリー論では、あるcategoryともう一つのcategoryを結びつける方法がキチンと定義されています。それをfunctor と言います。

言語の意味を表現するのに、カテゴリー論的枠組みを使うのなら、functorを利用することが必要になりそうです。

ここでは、functorと二つのfunctorを結びつけるnatural transformationの定義を見ておくことにします。

【 functorとはなにか？ 】

category C から category D へのfunctor F: C → D は、次のように定義されます。

まず、Cのオブジェクトと射について、functor Fがどう作用するかです。

　⚫️ Cのすべてのオブジェクトx について、 F(x)はDのオブジェクトである。
　⚫️ Cのすべての射 f : x → y について、 F(f)はDの射 F(f) : F(x) → F(y) である。

要するに、 functor Fによって、CのオブジェクトはDのオブジェクト F(x)にうつされ、Cの射 fはDの射 F(f)にうつるということです。

スライドに、図を書きましたのでご覧ください。

functorは、次の条件も満たす必要があります。

　⚫️ 射 g, f がCで合成可能な時、すなわち、射 g ◦ f が Cに存在する時、
　　F( g ◦ f ) = F(g) ◦ F(f)。
　⚫️ FはCのすべてのオブジェクトxについて、Cの同一射をDの同一射にうつす。
　　F(id_x) = id_F(x)　

【  二つのfunctorを結ぶ -- natural transformation 】

二つのfunctor F,Gがあって、F,Gともに、category Cからcategory Dへのfunctorだとします。

この時、次の条件を満たすη(エータ)を、FからGへのnatural transformation と言います。natural transformation は、二つのfunctorを結びつけるものです。

　⚫️ Cのすべてのオブジェクトx について、η_xはF(x)からG(x)の射である。
　　η_ｘ : F(x) → G(x)
　⚫️ f : x → y がCの射である時、次の式が成り立つ。
　　G(f) ◦ η_ｘ =η_ｙ ◦ F(f)

この関係をスライドで、図にしました。式だけではわかりにくいと思いますので、ぜひ、図もご覧ください。

【 可換図式 】

カテゴリー論では、図式のある頂点から他の頂点に至る経路が二つあって、どの経路を選んでも同じ結果になることを表す図式を「可換図式」と言います。

例えば、今回スライドに乗せた図式は「可換図式」です。この図は、先の二つ目の式の左辺と右辺が等しいことを、四角形の左上の頂点から右下の頂点に至る二つのどの経路を通っても「可換 commute」であることで表しています。お確かめください。

【 次回予告 】

数学的な準備ができましたので、次回は、意味のcategory Mの候補を構成してみたいと思います。カテゴリー論のツールとしては、「米田のレンマ」というのを使います。ただ、次回は、その初等的な解説です。


--------------------------------

ショートムービー「 functor：意味を表現する方法 」を公開しました。
https://youtu.be/uahXnX1s4Tw?list=PLQIrJ0f9gMcPgnaymP8vC37oKdYa5pvDm

「 functor：意味を表現する方法   」のpdf資料
https://drive.google.com/file/d/1oC9I4njEoUGnX-RyJp_Ldbp18Vvdz5fT/view?usp=sharing

blog 「 意味の世界はどこにある？ 」
https://maruyama097.blogspot.com/2023/12/functor.html

「大規模言語モデルの数学的構造」まとめページ
https://www.marulabo.net/docs/llm-math/


コメント

コメントを投稿

このブログの人気の投稿

マルレク・ネット「エントロピーと情報理論」公開しました。

イメージ
前回の秋葉原でのマルレクのネット配信が始まりました。 https://crash.academy/class/156 タイトルを「エントロピーと情報理論 -- 量子情報理論入門 -- 」に変更しました。最初の30分は、無料です。 次回のマルレク「量子コンピュータとは何か？」の導入となるコンテンツです。 講演資料は、こちらです。 https://goo.gl/CKayix  あわせて、ご利用ください。 　　　--------------------------------- 　　　マルレク・ネット　ビデオ・コンテンツ　 　　　--------------------------------- 　「エントロピーと情報理論」 　　　　 https://crash.academy/class/156 　「人工知能の歴史を振り返る」 　　　　 https://crash.academy/class/139/ 　「ニューラル・コンピューターとは何か？」 　　　　 https://crash.academy/class/101/ 　「Google ニューラル機械翻訳」 　　　　 https://crash.academy/class/76/ 　「RNNとLSTMの基礎」 　　　　 https://crash.academy/class/66/
続きを読む

初めにことばありき

旧約の「創世記」の「光よあれ」は、ビッグバンを思わせて、物理学者はちょっと萌えるかもしれないのだが、新約の「ヨハネによる福音書」には、言語学者が喜びそうなフレーズがある。 「初めに言があった。言は神と共にあった。言は神であった。」 僕が知っていたのは、「はじめにことばありき」という訳だったのだが。この口語訳での「言」は、英訳だとこうなっている。 "In the beginning was the Word, and the Word was with God, and the Word was God." 「言」= "Word" である。はじめにあったのは、Wordであって、Language ではない。だから、新しい口語訳では、普段、あまり馴染みない「言」という訳語を使ったのかも。「初めに語があった」では、なんかしまらないんだろうな。（僕は、「はじめにことばありき」というフレーズの方が好きだ。） ちなみに、「ヨハネによる福音書」は、英語では、"Gospel of John" という。「ジョンのゴスペル」である。でも、そう日本語に訳してしまうと、ジョン・レノンがバラードではなく、ゴスペルを歌っているようで、まずいんだろうな。 「ことば」・「言」・"Word" と訳されている、元々の言葉を調べてみると面白い。 キリスト教のオーソドックスな原典であるラテン語訳聖書では、この部分は、こうなる。 "In principio erat Verbum, et Verbum erat apud Deum, et Deus erat Verbum" 「イン・プリンキピオー・エラト・ウェルブム」 英訳 Word のラテン語の原語は、Verbum である。この単語、英語に直訳すれば、Verbである。「初めに、動詞があった。」　言語学の「従属性文法 (Dependency Grammar) 」理論の人たち、喜びそう。 もっとも、英語のVerbは、元々は、動詞というより広く言葉全体をさしてたらしい。そのことは、「ノンバーバル・コミュニケーション (Non-Verbal Communication) 」というのが、動詞を使わないコミュニケーション...
続きを読む

宇宙の終わりと黒色矮星

イメージ
【宇宙の終わりと黒色矮星】 図のようなストーリーで、「宇宙の終わりとエントロピー」という投稿を準備していたのだが、いろいろ雑念が湧いて気がすすまなくなる。その理由は別稿で。 この図は、「閉じられた部屋でのガスの拡散」というわかりやすいモデルで理解されるエントロピーの増大の法則が、あるフェーズから、宇宙規模でみれば、「全ての物質のブラックホールへの吸収・収斂」として現れると言うことを主張している。最初、ペンローズのこの話を読んだときには、目からウロコだった。 このストーリーにはもっと先がある。最近のシミュレーションでは、指数関数的に膨張する宇宙では、巨大なブラックホールに捕捉されるのは、宇宙全体の物質の10%程度だという。恒星起源のブラックホールは 10^67 年で、銀河系中心の巨大ブラックホールも 10^99年で、ホーキング放射で「蒸発」し姿を消す。 ブラックホールに捕捉されなかった宇宙の残りの90%の物質は、元それが属した銀河系から孤立したまま星の一生の進化を続ける。太陽の1.2倍程度の質量を持つ星は「白色矮星」になるのだが、「白色矮星」は 10^17年で「黒色矮星」に変わる。 「黒色矮星」は、現代の「宇宙の終末論」では、もっとも注目されている天体なのだが、それはまだ観測されていないと言う。というのも、この天体は光を出さないからだ。「黒色矮星」の中心は、最も安定な原子である鉄の「結晶」でできていて、温度は絶対零度近くに冷却されている。 「黒色矮星」は、とても長生きする天体である。陽子崩壊がおきるなら、黒色矮星の寿命は 10^32年程度だが、もし陽子が安定しているとすれば、太陽の 1.24倍程度の質量を持つ「黒色矮星」は、10^1600年後に突然崩壊して超新星爆発を起こす。もっと軽い、太陽の1.16倍程度の質量を持つ「黒色矮星」は、10^32000 年後（！）に超新星爆発を起こす。 このシナリオによれば、宇宙は、とてつもなく長い長い退屈な時間をかけて、その死を迎える。「黒色矮星」の超新星爆発は、宇宙の死を飾る最後の打ち上げ花火である。その後には、宇宙には何も起こらない。 この記事は、ジョン・バエズの "Black Dwarf Supernovae" を基にしたものだ。https://johncarlosbaez.wordpress.com/202...
続きを読む