enriched category

【 単純な例で enriched category を振り返る 】

このセッションでは、2つのオブジェクト間の射の集合𝐶(𝑦,𝑥)がもはや単なる集合でない場合の、カテゴリー論であるenriched category theoryについて考えます。

そこでは、射の集合𝐶(𝑦,𝑥)自身が、部分順序集合であったり、アーベル群であったり、位相空間であったり、他の何かであったりします。つまり、enrich化されたカテゴリーでは、先のCからSetへのfunctorであるpresheafの構成で、𝑆𝑒𝑡を別のカテゴリーに置き換えることになります。これはベクトル空間𝑘^𝑋との類比では、ベースの体𝑘を変えることに似ています。

新しいベースのカテゴリーが十分に良い構造を持っていれば、CをC上のpresheafで置き換えることについて述べたことは、ほとんど一語一語すべて通用します。

前回のセミナーは、言語のカテゴリーL上の copresheaf Set^L から、単位区間 [0,1] でenrich化された copresheaf [0,1]^L を構成したものです。これは結構複雑でした。

【 単純な例 -- 2-enriched presheaf 】

ここでは、もっと簡単な enriched category の例を考えます。

例えば、 𝖲𝑒𝗍 を、0と1という二つのオブジェクトを持ち、同一射以外の射は、0→1 一つだけである2というカテゴリーに置き換えると、それは、 2-valued presheaves というカテゴリーになります。

この場合、𝐶が 𝑋 = 𝑋^𝑜𝑝なる離散カテゴリー𝑋だとすると、2^𝑋のpresheaf は、{0,1}^X と表せて、正確に X上の {0,1}に値を取る関数（characteristic functionです）に等しくなり、それは、Xの部分集合に等しくなります。

2^𝑋の、それが2-enriched presheafであることによって与えられる構造は、以前に述べた部分集合上のBool 代数だということになります。（ 0をfalse, 1をtrue と考えます）

前回のセミナーで見た、[0,1]^X は、単位区間[0,1]に値を取るpresheaf ですが、{ 0, 1 }^X は、0か1 かの値を取るpresheaf であることに注意してください。（ 角かっこ [ ] と中かっこ{ } の違いです。）

2-enriched presheaf 𝑓と𝑔の、カテゴリー論的 coproduct は、join(union) 𝑓∨𝑔 であり、そのカテゴリー論的 product は meet(intersection) 𝑓∧𝑔 になります。

だから、どんな集合Xに対しても、関数の集合{0,1}^𝑋は、二つの要素からなる体 𝐹_2={0,1} 上のベクトル空間と見ることもできるし、𝟐={0,1}に値を取る、X上のenrich化されたpresheaf とも見ることもできます。

我々が、{0,1}を体と考えるか、あるいは、それを射 0→1 が定義されたカテゴリーだと考えるのか、どちらの見方を取るかに応じて 異なる構造を得るのです。

【 「オブジェクトからオブジェクト上の関数へ」のまとめ 】

𝑋上の “関数”の構造は、本質的に、その関数が何に値を持つかという、値を取る対象の構造に負っています。

例えば、カテゴリーC からSetへのfunctorであるpresheafの性質であるのcomplete性やcocomplete性は、値を取る対象である集合のカテゴリーのcomplete性やcocomplete性に起源をを持っています。

同様に、𝑋から体kへの関数であるベクトル空間での加法やスカラー倍は、関数が値を取る対象である体𝑘の加法や乗法から生まれたものです。

あらためて、このセクションの最初に述べた戦略を確認しましょう。

オブジェクト𝑋の内部構造について少ししか知られていない場合、より多くを学ぶためのアプローチは、𝑋を𝑋上の関数のようなもので置き換え、𝑋の限られた既知の構造が、𝑋の関数上で自由に定義された構造とどのように相互作用するかを研究することである。

特に、どのような対象の中で関数の値を評価し、また、その対象を数学的にどう見るかという選択が必要になります。

【 次回から、「自然言語処理での埋め込み」のセクションに入ります 】

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ショートムービー「 enriched category 」を公開しました。
https://youtu.be/Si--xi-RL4w?list=PLQIrJ0f9gMcOJYKeUN_8q2K-yxtTfbIoB

「 enriched category 」のpdf資料
https://drive.google.com/file/d/1EKnzgmAL4WzDaiGhMxV8dIb5nSnyuj-w/view?usp=sharing

blog 「 単純な例で enriched category を振り返る 」
https://maruyama097.blogspot.com/2024/02/enriched-category.html

「言語の意味の数学的構造」まとめページ
https://www.marulabo.net/docs/embedding-dnn/

ショートムービーの再生リスト
https://www.youtube.com/playlist?list=PLQIrJ0f9gMcOJYKeUN_8q2K-yxtTfbIoB 

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