Formal concept

【 展開は難しいのか易しいのか？ 】

これまでの展開を振り返ってみましょう。

まず、語の意味の埋め込みは行列の分解として解釈できるという話をして、ついで、行列のカテゴリー論的拡大として profunctor を紹介してきました。

前回は、profunctor のnuclei を導入して、そのペアの構造を探るという方向を示して（それはSVD分割での singular ベクトルのペアの構成とパラレルなものでした）、次のように語ります。

「意味的類似性のような言語の特定の意味的側面については、ベクトル空間の構造が適しているが、ベクトル空間の構造を重ね合わせることで、他の意味を覆い隠してしまう可能性がある。」

「 Isbell adjunctionは、言語の他の構造的特徴を明らかにするのに役立つかもしれない、別の構造を提供する。」

【 Formal Concept Analysis のカテゴリー論的解釈は易しい 】

どんな展開が待ち構えているのか、ワクワクドキドキですが、彼女がまず議論の導入の舞台として選んだのは、"Formal Concept Analysis" でした。

確かに、提供されたカテゴリー論的解釈は、二つのオブジェクトからなるカテゴリー 2 = {0,1}でenrich化したものですが、このenrich化は以前に見た 単位区間 [0,1]上でのenrich化より、はるかに簡単なものです。それはオブジェクトXの部分集合を定義するという簡単な役割を持っているだけです。

そうして、XとYとの部分集合間の関数 R^* とR_* が定義されていくのですが、こうした構成は、enrichedカテゴリーを持ち出さなくても、十分、可能です。

行列のSVDでの singular ベクトルのペア、profunctor でのnucleiのペアの構成とパラレルに、ある条件を満たすペアとして Formal concept の数学的定義が与えられるのですが、こうした構成は、singularベクトルやnuclei に触れることなく、まったく初等的に定義できます。

【 Formal Concept Analysisは、意味の「Entity Model」の数学理論 】

Formal Concept Analysis は、数学者の関心を集めているようには見えません。ただ、computer science の分野では、結構、利用する人は多いと思います。

というのも、あるものとそれがもつ属性の関係を数学化するその理論は、重要な実践的応用があるからです。

例えば、今回のセッションの初めに見た オブジェクト-属性の表のオブジェクトを表す列に個人（あるいはそのID）が置かれ、その属性を表す行にその人が興味を持つ分野が置かれた表（または、行列）を考えましょう。

こうしたアプローチは、リコメンデーション広告の基本的な手段として、現在でも広く利用されています。ただ、この行列は、実際には非常に巨大なものになるので、コンピュータ上でうまく計算する工夫が必要になります。Formal Concept Analysisの数学理論は、こうしたところで、広く利用されています。

注意して欲しいのは、こうした意味へのアプローチは、意味の分散表現論ではなく、意味の「Entity Model」と同じものであるということです。

【 「形式」と「概念」の「双対性」の認識 】

という「不満」があるもので、今回のセッションの主要な内容は、Tai-Danaeの議論の紹介というより、資料の付録につけたLawvereの議論の紹介にあります。

Lawvereもまた、「形式」と「内容（概念）」の二重性に関心を持っていました。彼は、この関係に「adjointness」という数学的概念で切り込んでいきます。こうした枠組みは、Tai-Danae も踏襲していることに注意してください。

彼の議論の一端を紹介します。多分、次回のセッションも、Lawvereの議論の紹介に当てたいと思っています。

「数学とその基礎における 形式と概念の双対性について」

「数学と呼ばれる正確な知識の追求は、形式的なものと概念的なものと呼ばれる2つの側面を本質的に含んでいるように思われる。例えば、私たちは代数的に多項式を操作し、幾何学的に対応する曲線を視覚化する。あるいは、ある瞬間には群論の公理から定理を導くことに集中し、次の瞬間には、その定理が参照する実際の群のクラスについて考える。このように、概念的なものはある意味で形式的なものの主題なのである。」

「本論文の目的の一つは、カテゴリー論の概念的領域で最初に分離され命名されたものだが、論理学にも浸透しているように思われる adjointnessの概念が普遍的なものであることの証拠を与えることである。」


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ショートムービー「 Formal concept 」を公開しました。
https://youtu.be/wKUUIdOGWj4?list=PLQIrJ0f9gMcOJYKeUN_8q2K-yxtTfbIoB

「 Formal concept 」のpdf資料
https://drive.google.com/file/d/1HpG7gUUfdyjLzkcBXMITNT6sxxG2Y4Oa/view?usp=sharing

blog 「 展開は難しいのか易しいのか？  」
https://maruyama097.blogspot.com/2024/02/formal-concept.html

「言語の意味の数学的構造」まとめページ
https://www.marulabo.net/docs/embedding-dnn/

ショートムービーの再生リスト
https://www.youtube.com/playlist?list=PLQIrJ0f9gMcOJYKeUN_8q2K-yxtTfbIoB 

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