「自明」だが不毛な会話

【「自明」だが不毛な会話】

少し、話が飛びますが、数学と論理の話をしましょう。数学では、1+1は、必ず2になります。論理では、「Aが成り立っていれば Bが成り立つ」がわかっていて、「Aが成り立っている」とすれば「Bが成り立っている」ことが、論理的に推論できます。

二人の数学者、俊英の若い不二夫と意固地な老人の丸山が、黒板を前にして、最近、不二夫が証明した定理について議論しています。

　　不二夫：「あの定理とあれを使うと、これが分かります。」　
　　丸　山：「自明じゃ」
　　不二夫：「それに、この補題を使うと、こうなります。」　
　　丸　山：「自明じゃ」

　　　　　・・・　中略　・・・

　　不二夫：「ここまで来ると、ほとんど自明です。」　
　　丸　山：「自明じゃ」
　　不二夫：「最後に、これを示して、定理が証明されます。」　
　　丸　山：「自明じゃ」

本当は、丸山は、最初は、定理の意味を全然わかっていなかったのですが、最終的には、全ての証明の過程は、「自明」なものになってしまいます。丸山が、本当にわかったかは疑問ですが。わかってないとすれば、不毛な会話です。ただ、数学者の説明に、「自明だ」と答えるのは、いい戦略かもしれません。

どんな複雑な数学的命題も、厄介なその証明も、もともと自明なものに還元され、情報を持たないのです。

「納得がいかない」という人も多いと思います。

今度は、「自明なこと」をエントロピーで表してみましょう。

ある出来事が起きる確率が1ということは、その出来事が100%完全に起きるということです。この出来事は、どういう情報量＝エントロピーを持つのでしょうか？　この出来事のエントロピーHは, H=−ΣpLog(p)の式に p=1を入れれば、H=1x log(1) =1x0 ＝ 0で、ゼロになることが分かります。確実に分かること、自明なことの情報量＝エントロピーは、ゼロなのです。

今度は、現実の話をしましょう。

コインを投げて、表が出るか裏が出るかを当てることを考えましょう。ここでは、誰も、確実なことは言えません。次に表が出るか裏が出るかは、論理的に考えれば分かることではありません。コインを投げてみるしかないのです。

確実なことは、たくさんコイン投げをすれば、「表が出る確率は1/2に、裏が出る確率は1/2に近づく」ということぐらいです。それでは、「表が出る確率は1/2、裏が出る確率は1/2」という確率の分布はどういう意味を持つのでしょう？ 実は、この確率分布が、「エントロピー」という量を決めています。

意外に思われる方もいると思いますが、エントロピーの単位は「bit」です。私たちIT技術者が、日常的に使っている bit のことです。bitというのは、エントロピーの単位なのです。そう思うと、エントロピー、急に身近な概念になりませんか？ あのbitですよ。

答えを先に言いますが、先に見た、「表が出る確率は1/2、裏が出る確率は1/2」という確率分布が決めるエントロピーは、1 bit です。

「表」と「裏」ではなく、1 bitという情報量を、「0である確率が1/2、1である確率が1/2」である確率分布で与えられる情報量＝エントロピーと考えてみませんか？　少し、bitがエントロピーの単位であることのイメージが掴めると思います。

6月26日開催マルゼミ「情報とエントロピー２」のショートムービー第一弾「確率分布とエントロピー -- シャノン・エントロピー」を公開しました。ご利用ください。

YouTube: https://youtu.be/atQ9nIUgciw?list=PLQIrJ0f9gMcM2_4wbtngkEvZEYfuv5HY2

pdf版の資料は、次のページからアクセスできます。
https://www.marulabo.net/docs/info-entropy2/

6/26マルゼミ「情報とエントロピー２」のお申し込みは、次のページから現在受付中です。https://info-entropy2.peatix.com/


コメント

コメントを投稿

このブログの人気の投稿

マルレク・ネット「エントロピーと情報理論」公開しました。

イメージ
前回の秋葉原でのマルレクのネット配信が始まりました。 https://crash.academy/class/156 タイトルを「エントロピーと情報理論 -- 量子情報理論入門 -- 」に変更しました。最初の30分は、無料です。 次回のマルレク「量子コンピュータとは何か？」の導入となるコンテンツです。 講演資料は、こちらです。 https://goo.gl/CKayix  あわせて、ご利用ください。 　　　--------------------------------- 　　　マルレク・ネット　ビデオ・コンテンツ　 　　　--------------------------------- 　「エントロピーと情報理論」 　　　　 https://crash.academy/class/156 　「人工知能の歴史を振り返る」 　　　　 https://crash.academy/class/139/ 　「ニューラル・コンピューターとは何か？」 　　　　 https://crash.academy/class/101/ 　「Google ニューラル機械翻訳」 　　　　 https://crash.academy/class/76/ 　「RNNとLSTMの基礎」 　　　　 https://crash.academy/class/66/
続きを読む

初めにことばありき

旧約の「創世記」の「光よあれ」は、ビッグバンを思わせて、物理学者はちょっと萌えるかもしれないのだが、新約の「ヨハネによる福音書」には、言語学者が喜びそうなフレーズがある。 「初めに言があった。言は神と共にあった。言は神であった。」 僕が知っていたのは、「はじめにことばありき」という訳だったのだが。この口語訳での「言」は、英訳だとこうなっている。 "In the beginning was the Word, and the Word was with God, and the Word was God." 「言」= "Word" である。はじめにあったのは、Wordであって、Language ではない。だから、新しい口語訳では、普段、あまり馴染みない「言」という訳語を使ったのかも。「初めに語があった」では、なんかしまらないんだろうな。（僕は、「はじめにことばありき」というフレーズの方が好きだ。） ちなみに、「ヨハネによる福音書」は、英語では、"Gospel of John" という。「ジョンのゴスペル」である。でも、そう日本語に訳してしまうと、ジョン・レノンがバラードではなく、ゴスペルを歌っているようで、まずいんだろうな。 「ことば」・「言」・"Word" と訳されている、元々の言葉を調べてみると面白い。 キリスト教のオーソドックスな原典であるラテン語訳聖書では、この部分は、こうなる。 "In principio erat Verbum, et Verbum erat apud Deum, et Deus erat Verbum" 「イン・プリンキピオー・エラト・ウェルブム」 英訳 Word のラテン語の原語は、Verbum である。この単語、英語に直訳すれば、Verbである。「初めに、動詞があった。」　言語学の「従属性文法 (Dependency Grammar) 」理論の人たち、喜びそう。 もっとも、英語のVerbは、元々は、動詞というより広く言葉全体をさしてたらしい。そのことは、「ノンバーバル・コミュニケーション (Non-Verbal Communication) 」というのが、動詞を使わないコミュニケーション...
続きを読む

宇宙の終わりと黒色矮星

イメージ
【宇宙の終わりと黒色矮星】 図のようなストーリーで、「宇宙の終わりとエントロピー」という投稿を準備していたのだが、いろいろ雑念が湧いて気がすすまなくなる。その理由は別稿で。 この図は、「閉じられた部屋でのガスの拡散」というわかりやすいモデルで理解されるエントロピーの増大の法則が、あるフェーズから、宇宙規模でみれば、「全ての物質のブラックホールへの吸収・収斂」として現れると言うことを主張している。最初、ペンローズのこの話を読んだときには、目からウロコだった。 このストーリーにはもっと先がある。最近のシミュレーションでは、指数関数的に膨張する宇宙では、巨大なブラックホールに捕捉されるのは、宇宙全体の物質の10%程度だという。恒星起源のブラックホールは 10^67 年で、銀河系中心の巨大ブラックホールも 10^99年で、ホーキング放射で「蒸発」し姿を消す。 ブラックホールに捕捉されなかった宇宙の残りの90%の物質は、元それが属した銀河系から孤立したまま星の一生の進化を続ける。太陽の1.2倍程度の質量を持つ星は「白色矮星」になるのだが、「白色矮星」は 10^17年で「黒色矮星」に変わる。 「黒色矮星」は、現代の「宇宙の終末論」では、もっとも注目されている天体なのだが、それはまだ観測されていないと言う。というのも、この天体は光を出さないからだ。「黒色矮星」の中心は、最も安定な原子である鉄の「結晶」でできていて、温度は絶対零度近くに冷却されている。 「黒色矮星」は、とても長生きする天体である。陽子崩壊がおきるなら、黒色矮星の寿命は 10^32年程度だが、もし陽子が安定しているとすれば、太陽の 1.24倍程度の質量を持つ「黒色矮星」は、10^1600年後に突然崩壊して超新星爆発を起こす。もっと軽い、太陽の1.16倍程度の質量を持つ「黒色矮星」は、10^32000 年後（！）に超新星爆発を起こす。 このシナリオによれば、宇宙は、とてつもなく長い長い退屈な時間をかけて、その死を迎える。「黒色矮星」の超新星爆発は、宇宙の死を飾る最後の打ち上げ花火である。その後には、宇宙には何も起こらない。 この記事は、ジョン・バエズの "Black Dwarf Supernovae" を基にしたものだ。https://johncarlosbaez.wordpress.com/202...
続きを読む