「数える」と「個数」

【 「数える」と「個数」 】

「宇宙を埋め尽くす砂の数は？」という問いを立てて、実際にそれを計算した人がいます。
古代ギリシャの数学の天才アルキメデスが、その人です。

彼は、宇宙を埋め尽くす砂の数は、10^51より少ないことを導きました。
その計算は、wiki ページ https://ja.wikipedia.org/wiki/砂粒を数えるもの　に紹介されています。

あるエリアの野鳥の数を数える方法も、いろいろ考えられています。「日本屋長の会」などが行う方法を、紹介しておきました。

【 「数える」には、いくつかの前提・特徴があります 】

　・前提：数える範囲が明確（例えば「箱」の中にある）で、かつ、その数が、数える間に変化しないこと。
　・数えられる「もの」の具体的な形状・性質は、数えることには影響を与えない。数えるときに、それらは捨象される。
　・どれを先に数えるか、同じことだが、数える順番は、数えることには影響を与えない。
　・ただ、すでに数えたものと、まだ数えていないものとの区別は必要である。数えるというのは、対象をすでに数えたものとまだ数えていないものに二分することなしには実行できない。
　・最初に数えたとき１と数え、次に２と数え、順次、それを続ける。数えることは、自然数の順番に対応している。

【 「個数」について考える 】

数えることと「個数」とは、もともとは結びついていたのですが、そのうちに、数えることとは独立にでも、「個数」は存在するという考え方が、一般的になります。

先のアルキメデスの宇宙を埋める砂の数や、日本野鳥の会のカウンティングは、実際には、数えていません。数えなくても、あるいは、数えられなくても、「個数」は存在すると思われています。

【 「数える」とは独立な「個数」の定義 】

数学的には、「数える」という具体的な操作とは独立な「個数」の定義が必要になります。
二つの集合の要素の個数については、次のような定義が基本的です。

　　　二つの集合の要素が、「一対一対応」がつく時、
　　　二つの集合の要素の個数は、等しいとする。
　　　
【 抽象的な話になる前に 】

話が抽象的になる前に、一つのことを確認しておきたいと思います。

それは、先に、「数える」ことの特徴として挙げた次のことに関係しています。

　・数えられる「もの」の具体的な形状・性質は、数えることには影響を与えない。数えるときに、それらは捨象される。

実は、日本語では、「個数」や「量」を表現するのに、数を表す語の後ろにある言葉を付けてどのような事物の数量であるかを示すのが一般的です。

人間の数は、4個ではなく4人と言います。動物なら4匹ですね。細長いものなら4本、平たくて厚みがないものは4枚とか4面と言います。4個と数えていいのは点の数ですね。

日本語の文法では、それを「助数詞」と言います。

日本語のほか、中国語・韓国語など東アジア・東南アジアの多くの言語、またアメリカ大陸先住民の言語などにも「助数詞」はあるようです。

日本語の助数詞は多様性に富んでおり、一説には約500種類もあるそうです。https://ja.wikipedia.org/wiki/助数詞　から、あ行の言葉の助数詞の例を挙げておきます。

【 オイラーの図形の捉え方 】

ただ、4個の点と、4本の線と、4面の面といった時、4という数字は共通なのですが、この数字は同じ量を表しているのでしょうか？

オイラーは、たとえば、三角形を、3個の点と3本の線と1個の面（三角形自身）からなるものと考えます。

3個の点と3本の線というときの3は同じ量を表しているのでしょうか？　

確かに、それは同じ「個数」を表しています。ただ、一方は点の個数で、もう一方は線の個数です。表しているものの性質は違うのです。

実は、3個と3本は、違う量を表すという、オイラーにさかのぼる認識は、マグニチュード論の誕生に大きく関わることになります。

それについては、また別のセッションで。

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blog 「「数える」と「個数」 」
https://maruyama097.blogspot.com/2025/08/blog-post_24.html

セミナーのまとめページ

スライド「「数える」と「個数」 」のpdf ファイル
https://drive.google.com/file/d/1YuwdSBrNHyCM4UG-naFz4Ji3EE345WKo/view?usp=sharing

ショートムービー「「数える」と「個数」 」
https://youtu.be/x0qEXVIAvzU?list=PLQIrJ0f9gMcPmPimhgAIUUh98fyLSM6iB

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