Lawvereの「一般化された距離空間」

【 Lawvereの「一般化された距離空間」 】

このセッションでは、Lawvereの「一般化された距離空間」の話をしたいと思います。

今回、取り上げるのは、1973年の彼の次の論文です。
“Metric Spaces, Generalized Logic and Closed Category”

この論文、Enriched カテゴリー論を用いて、距離空間の概念を見事に拡張してみせた、彼の有名な論文の一つです。

【 アナロジーで語るEnriched カテゴリー論 】

ただ、この論文のどこにも、Enriched カテゴリーという言葉は使われていません。代わりに、「閉じたカテゴリー」と「強いカテゴリー」いう言葉が使われています。

現代のenriched カテゴリー論の用語でいうと、この論文でLawvereのいう「閉じたカテゴリー」が、enrich化するmonoidai カテゴリー Vのことで、「強いカテゴリー」は、Vでenrich化されたV-カテゴリーのことなのです。（このことを念頭におくと、この論文は読みやすいと思います。）

【 Lawvereの研究と教育のアプローチ 】

また、理論の展開にも特徴があります。彼は言います。

「本稿が、閉じた実数の非負の量という閉カテゴリーを値域とする、強いカテゴリーとして捉えられた距離空間の方向のはっきりした例に基づいて、閉じたカテゴリーへの入門としても読まれることを願う。

閉じたカテゴリーは強いカテゴリーの妥当な理論を構築するのに十分なものであるため、本研究の基盤となるアナロジーの初歩的な性質を明らかにするために、まず強いカテゴリーのいくつかの例を検討する。」

[0, ∞]区間の実数からなる距離空間のような「強いカテゴリー」は、身近でイメージしやすい。そこから具体的な例をうまく積み重ねて、抽象的な「閉じたカテゴリー」を理解する入門コースとしても読んでもらえるようにしたい。

両者の関係では、「閉じたカテゴリー」の役割が本質的だということが、この論文の基本的内容なのだが、そのことは、具体例からの初等的なアナロジーで理解できるはずである。

まあ、そういった趣旨だと思います。

【 enriched カテゴリーという言葉は、 いつ登場したのか？ 】

enriched カテゴリーの理論を始めたのは、Lawvereではありません。

enriched カテゴリー論の中核的なアイデアである、あるカテゴリーの射の集合 hom-setを、他のカテゴリーのhom-objectで置き換えるという研究は、1965年には、EilenbergやKellyらによって活発に展開されていました。

当時のEilenbergとKellyのこの分野での重要な論文のタイトルは、”Closed category” でした。

（残念ながら、僕には enriched categoryという言葉を誰が最初に使ったのか特定することができませんでした。）

【 Lawvereのアプローチのインパクト 】

もちろん、Lawvereは、こうした理論を熟知していました。
While in Perugia(1972-1974), Lawvere worked on various kinds of enriched category. (wiki)
 
ただ、これらの理論の研究と教育に対する、Lawvereのアプローチは、全く違ったものでした。

それは、これらの抽象的な理論が、具体的な数学（例えば、距離空間の理論）を再構成する道具として利用できることを、鮮やかに示したものでした。

この点では、当時、数学者自身が、なかば自虐的なジョークとして、カテゴリー論を ‘general abstract nonsense’ とか‘general nonsense’ と呼ぶことがあったことを思い起こしてください。

教育的な意図としては、彼は、enriched カテゴリー論を、アナロジーを用いて、初等的な入門コースとして展開しようとしたのです。
（もっとも、この論文が「初等的な入門コース」かは。微妙です。）

Lawvereは、別の論文で自身のこうしたアプローチを「あらゆる概念の歴史的起源に対する冷静な評価」に基づくものだと語ります。壮大で透徹したビジョンだと思います。

彼のアプローチは、数学の世界に大きなインパクトを与えることになります。

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blog 「 Lawvereの「一般化された距離空間」 」
https://maruyama097.blogspot.com/2025/10/lawvere.html

スライド「 Lawvereの「一般化された距離空間」 」のpdf ファイル
https://drive.google.com/file/d/1-qA__UTa2QToUT7rXQeB4veEqfpxuuGV/view?usp=sharing

セミナーのまとめページ
https://www.marulabo.net/docs/llm1bradley/

セミナーに向けたショートムービーの再生リスト
https://www.youtube.com/playlist?list=PLQIrJ0f9gMcMBg47ryEOaF7o6TDZgipNN

ショートムービー「Lawvereの「一般化された距離空間」 」
https://youtu.be/W_TFuSow8KE?list=PLQIrJ0f9gMcMBg47ryEOaF7o6TDZgipNN

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