ブラックホールと情報

1. 1ビットの情報を追加すると、ブラックホールのエネルギーは、どれくらい増加するのか？　それは、1ビットを運ぶフォトン一つのエネルギーに等しい。
2. 次に、このビットの追加で、ブラックホールの質量は、どう変わるのか？　ここでは、有名なアインシュタインの $E = mc^2$ の式を使う。
3. 質量の変化がわかれば、シュワッルツシルド半径$R_s$の変化がわかる。
$$R_s=2MG/c^2$$
4. 最後に、ブラックホールの地平の面積は、次の式で与えられる。
$$地平の面積=4\pi {R_s}^2 $$

1ビットのフォトンの波長は、ブラックホールの中で、その位置が不確定になるように十分長い波長を持たなければならない。その波長は $R_s$に等しい。アインシュタイン・プランクの式で、振動数 $\nu$の光のエネルギー$E$は、$E=h\nu$ 、 $\nu R_s=c$だから（波の速さ＝振動数 x 波長）、そのフォトンのエネルギーは、次の式で表される。
$$E=hc/R_s$$
$E = mc^2$だから、このエネルギーが与えられた時の質量の変化は、エネルギーを$c^2$で割ったもの。
$$質量の変化=h / R_s c$$
太陽と同じくらいの質量のブラックホールのシュワルツシルド半径 $R_s$は、3,000メーター程度。光のスピード $c = 3 x 10^8$メーター。プランクの定数 $h= 6.6 x 10^{-34}$だから、1ビットの情報が、太陽程度の質量を持つブラックホールに落ちた時の質量の変化は、とても小さい。
$$質量の増加 = 10^{-45} キログラム$$
先の質量と半径の関係を使えば、
$$R_sの増加=2MG/c^2=2 (h / R_s c)G / c^2 = 2 h G / (R_s c^3)$$
これは、$10^{-72}$メーターの変化。
この時の面積の増加は、$10^{-70}$ 平方メーター。

ブラックホールのエントロピーは、bitで計測すれば、プランクの面積単位で計測した地平の面積に比例する。

情報とは、面積である。

温度は、1bitの情報が追加された時の、システムのエネルギーの上昇である。