21世紀 数学的証明での「形式的証明」の拡大
【 数学者も証明を間違えることがあるということ 】
数学的知には、人間の認識によって獲得されたものとしては、独特の性質があります。
それは、いったん数学的に「真」であることが証明された定理は、時代が変わっても場所が変わっても、ずっと「真」のままであり続けることです。
そうして獲得された知は、個人というよりは人類の知として蓄積されていきます。それを数学的知の「累積性」といいます。
「フェルマーの定理」を証明したワイルズは、自分を「巨人の肩の上の小人」に喩えたのですが、それは彼の謙遜であると同時に、数学的知の体系が「累積的」であることを彼がはっきりと自覚していることを示しています。
それでは、 「数学的知の累積性」は、どのように保証されるのでしょうか？
ピタゴラスの「教団」は、いくつかの発見を「秘教」にしていたらしいのですが、ピタゴラスの定理を使うのに、我々はその「証明」を自分で繰り返し「再発見」する必要はありません。
もちろん、ピタゴラスの定理を使うたびに、ピタゴラスの遺産継承者に使用料を支払う必要もありません。
数学では、「数学的知の共有」は、数学という学問自体の前提と言っていいものです。
そういう意味では、コンピュータの世界でオープンソースのムーブメントが大きな影響力を獲得するはるか以前から、数学の世界はオープンソースの世界だったのです。
ただ、「情報の共有」が、「数学的知の累積性」を保証するとは限りません。「数学的知の累積性」にとって、一番重要なことは、その「数学的知」が数学的に正しいことです。
しかし、数学的正しさを証明する「数学的証明」は、現状では、いくつかの問題を抱えています。
一つには、数学者が正しいと思って提出した「証明」が、正しいものではない場合があるということです。
「フェルマーの定理」は、最終的には、1995年のAndrew Wilesの論文によって証明されたのですが、フェルマー自身は、この定理を証明出来たと信じていました。その「証明」は残っていませんが、それが誤った「証明」であったのは確かです。
Wiles自身も、95年の論文以前に一度、「フェルマーの定理を証明した」という発表を行うが、誤りが見つかり、それを撤回しています。
世紀の難問である「リーマン予想」は、何度か「証明」が発表されています。今までのところ、それらは誤った「証明」でした。
証明には、別のの問題もあります。
それは、その「証明」が正しいものであるか、第三者が判定するのが、難しいことがあるのです。
Grigory Perelmanは、2002年から2003年にかけて arXiv に投稿した論文で、「三次元のポアンカレ予想」を解いたと主張しました。
arXivは、学会の論文誌とは異なり、掲載の可否を決める査読が基本的にないので、発表の時点では、彼の論文以外に、彼の証明が正しいという裏付けはありませんでした。
彼の証明の検証は、複数の数学者のグループで取り組まれ、最終的に彼の証明の正しさが「検証」されたのは、2006年になってからのことでした。
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