Curry-Howard対応の発見

【 「証明」＝「計算」＝「プログラム」】

数学と計算科学の接点を振り返っています。

ゲーデル、チャーチ、チューリングの「証明可能性」は「計算可能性」に等しいという発見から40年たった1970年代、数学と計算科学の接点で注目すべき二つの動きがありました。

一つは、計算機科学の側から生まれた、具体的なプログラムの分析を通じて、計算機科学の数学的基礎づけを目指す動きです。残念ながら、この「形式手法」と呼ばれる意欲的なムーブメントは。ITの世界では広く受け入れられることなく挫折します。

もう一つは、論理学＝数学の側から生まれた動きです。その代表的な成果は、「Curry-Howard対応」の発見と、それに基づくマーティン・レフの「従属型理論」の成立です。

今回のセッションでは、「Curry-Howard対応」の発見を取り上げます。

Curry-HowardのCurryは、関数型言語Haskellにその名を残しているCurry Haskell その人です。既に1934年に、Haskell Curryは、型付きラムダ計算の関数の型を示す矢印 → と、 論理式“A → B” の中に出てくる含意を意味する矢印 → との間に、対応関係があることに気づいていました。

具体的には、「A → B が成り立ち、かつ、Aが成り立つなら、Bが成り立つ」という有名な「三段論法」の推論ルールと、「f が A → B という型を持ち、a がAという型を持つなら、f(a) は型 B を持つ」という型付きラムダ計算での型の計算ルールが、よく似ていることに気がついていました。

Howardは、このCurryの発見を、マーティン・レフらと共に、さらに深く考えました。

論理式 A → B が、 A → B という関数と同じ型を持つと考えられるのなら、他の論理式も、型を持つと考えることができるのでは？　例えば、論理式 A ∨ B は、型 A ∨ B を、論理式 A ∧ B は、型 A ∧ B を持つと考えることはできないか？

そして、この論理式（命題：Proposition）を型とみなすアイデアは、うまく機能するのです。こうした考えを、"Proposition as Type" と呼びます。

もう一つの飛躍は、命題が型Pを持つとしたとき、型Pの項pにあたるものが、命題Pの証明と考えることができることに気づいたことです。

命題Pとその証明 p を p : Pで表すことにしましょう。この時、

　　p : A ∧ B である p は、Aの証明とBの証明の両方からなり、
　　p : A ∨ B である pは 、Aの証明 あるいは、Bの証明のどちらか

と考えることができます。こうした考えを、"Proof as Term"  と呼びます。

p : P という判断は、二つの意味で解釈できるのです。

　「p が命題 P の証明である」という判断を表す p : P は、
　「p は、型 P の項（要素）である」という判断を表す p : P と
　　見なすことが出来るし、また、逆の見方も出来るのです。
　
Howardの ”Propositions as Types”, “Proofs as Terms”  という洞察は、あとにみるMartin-Löfの型の理論に大きな影響を与えます。こうした観点は、今日のCoq等の証明支援言語の理論的基礎になっています。

重要なことは、このCurry-Howard対応は、項の計算をプログラムと見なせば、”Proof as Program”としても解釈出来るということです。

こうして、80年前のゲーデル・チャーチ・チューリングの「証明」＝「計算」という認識と合わせて、論理学者と計算機学者の一部は、「証明」＝「計算」＝「プログラム」という認識にたどり着きました。

大規模言語モデルに基づく「人工知能」は、数学的能力を欠いているのですが、「数学に強い、もう一つの人工知能」を作る道は、この40年前の認識に立ち返ることだと、僕は考えています。

-------------------------------------

「 Curry-Howard対応の発見 」を公開しました。
https://youtu.be/tc3h65aiHxQ?list=PLQIrJ0f9gMcMMwP2zBgMe3LbaDnKGG_zw

資料pdf
https://drive.google.com/file/d/11fcD7MzsJN3brWQGW-xCly1TDwCZy40c/view?usp=sharing

blog：「「証明」＝「計算」＝「プログラム」 」
https://maruyama097.blogspot.com/2023/03/curry-howard.html

まとめページ
https://www.marulabo.net/docs/aimath/

セミナーの申し込み
https://ai-math.peatix.com/

コメント

コメントを投稿

このブログの人気の投稿

マルレク・ネット「エントロピーと情報理論」公開しました。

イメージ
前回の秋葉原でのマルレクのネット配信が始まりました。 https://crash.academy/class/156 タイトルを「エントロピーと情報理論 -- 量子情報理論入門 -- 」に変更しました。最初の30分は、無料です。 次回のマルレク「量子コンピュータとは何か？」の導入となるコンテンツです。 講演資料は、こちらです。 https://goo.gl/CKayix  あわせて、ご利用ください。 　　　--------------------------------- 　　　マルレク・ネット　ビデオ・コンテンツ　 　　　--------------------------------- 　「エントロピーと情報理論」 　　　　 https://crash.academy/class/156 　「人工知能の歴史を振り返る」 　　　　 https://crash.academy/class/139/ 　「ニューラル・コンピューターとは何か？」 　　　　 https://crash.academy/class/101/ 　「Google ニューラル機械翻訳」 　　　　 https://crash.academy/class/76/ 　「RNNとLSTMの基礎」 　　　　 https://crash.academy/class/66/
続きを読む

初めにことばありき

旧約の「創世記」の「光よあれ」は、ビッグバンを思わせて、物理学者はちょっと萌えるかもしれないのだが、新約の「ヨハネによる福音書」には、言語学者が喜びそうなフレーズがある。 「初めに言があった。言は神と共にあった。言は神であった。」 僕が知っていたのは、「はじめにことばありき」という訳だったのだが。この口語訳での「言」は、英訳だとこうなっている。 "In the beginning was the Word, and the Word was with God, and the Word was God." 「言」= "Word" である。はじめにあったのは、Wordであって、Language ではない。だから、新しい口語訳では、普段、あまり馴染みない「言」という訳語を使ったのかも。「初めに語があった」では、なんかしまらないんだろうな。（僕は、「はじめにことばありき」というフレーズの方が好きだ。） ちなみに、「ヨハネによる福音書」は、英語では、"Gospel of John" という。「ジョンのゴスペル」である。でも、そう日本語に訳してしまうと、ジョン・レノンがバラードではなく、ゴスペルを歌っているようで、まずいんだろうな。 「ことば」・「言」・"Word" と訳されている、元々の言葉を調べてみると面白い。 キリスト教のオーソドックスな原典であるラテン語訳聖書では、この部分は、こうなる。 "In principio erat Verbum, et Verbum erat apud Deum, et Deus erat Verbum" 「イン・プリンキピオー・エラト・ウェルブム」 英訳 Word のラテン語の原語は、Verbum である。この単語、英語に直訳すれば、Verbである。「初めに、動詞があった。」　言語学の「従属性文法 (Dependency Grammar) 」理論の人たち、喜びそう。 もっとも、英語のVerbは、元々は、動詞というより広く言葉全体をさしてたらしい。そのことは、「ノンバーバル・コミュニケーション (Non-Verbal Communication) 」というのが、動詞を使わないコミュニケーション...
続きを読む

宇宙の終わりと黒色矮星

イメージ
【宇宙の終わりと黒色矮星】 図のようなストーリーで、「宇宙の終わりとエントロピー」という投稿を準備していたのだが、いろいろ雑念が湧いて気がすすまなくなる。その理由は別稿で。 この図は、「閉じられた部屋でのガスの拡散」というわかりやすいモデルで理解されるエントロピーの増大の法則が、あるフェーズから、宇宙規模でみれば、「全ての物質のブラックホールへの吸収・収斂」として現れると言うことを主張している。最初、ペンローズのこの話を読んだときには、目からウロコだった。 このストーリーにはもっと先がある。最近のシミュレーションでは、指数関数的に膨張する宇宙では、巨大なブラックホールに捕捉されるのは、宇宙全体の物質の10%程度だという。恒星起源のブラックホールは 10^67 年で、銀河系中心の巨大ブラックホールも 10^99年で、ホーキング放射で「蒸発」し姿を消す。 ブラックホールに捕捉されなかった宇宙の残りの90%の物質は、元それが属した銀河系から孤立したまま星の一生の進化を続ける。太陽の1.2倍程度の質量を持つ星は「白色矮星」になるのだが、「白色矮星」は 10^17年で「黒色矮星」に変わる。 「黒色矮星」は、現代の「宇宙の終末論」では、もっとも注目されている天体なのだが、それはまだ観測されていないと言う。というのも、この天体は光を出さないからだ。「黒色矮星」の中心は、最も安定な原子である鉄の「結晶」でできていて、温度は絶対零度近くに冷却されている。 「黒色矮星」は、とても長生きする天体である。陽子崩壊がおきるなら、黒色矮星の寿命は 10^32年程度だが、もし陽子が安定しているとすれば、太陽の 1.24倍程度の質量を持つ「黒色矮星」は、10^1600年後に突然崩壊して超新星爆発を起こす。もっと軽い、太陽の1.16倍程度の質量を持つ「黒色矮星」は、10^32000 年後（！）に超新星爆発を起こす。 このシナリオによれば、宇宙は、とてつもなく長い長い退屈な時間をかけて、その死を迎える。「黒色矮星」の超新星爆発は、宇宙の死を飾る最後の打ち上げ花火である。その後には、宇宙には何も起こらない。 この記事は、ジョン・バエズの "Black Dwarf Supernovae" を基にしたものだ。https://johncarlosbaez.wordpress.com/202...
続きを読む