Rosetta Stone、再び

【 カテゴリー論の時代始まる 】

20世紀を通じて、数学・物理を中心とする数理科学は、大きな発展を遂げました。それは、内部に多くの新しい研究領域を発生させながら、それぞれの領域は相互に越境し、さらにその領域を拡大し続けました。

前回見た、「計算」＝「証明」＝「プログラム」という認識も、新しい領域を巻き込み、長い時間をかけて獲得された、そうした認識の一例です。

21世紀になって、こうして拡大した数理科学の全体像を統一的に把握しようという探究がうまれてきます。

数理科学の専門化した諸領域の到達点を概観するのは、必ずしも容易ではないのですが、やがて、それらの間に驚くべき類似性が存在するという認識が生まれます。

今回のセッションで紹介する John Baezらの “A Rosetta Stone”論文は、数理科学の統一的把握の試みとして、もっとも成功した、もっとも影響力のあったものの一つです。

彼の認識の飛躍は、数学的には、数理科学の基礎にカテゴリー論をおくことで可能になりました。

1970年代、ペンローズは、ファインマン・ダイアグラムの一般化が、時空間の理解を改めることにつながるかもしれないことに気づきます。1980年代には、量子物理学とトポロジーとの間に、強力な類似性があることが明らかになっていきます。

弦理論では、この類似性を利用して、通常の場の量子論のファインマン・ダイアグラムを2次元のコボルディズムに置き換えて、時間の経過とともに弦が辿る世界のシートを表現します。

演算子とコボルディズムの類似性は、ループ量子重力や、より純粋に数学的な分野である「トポロジカル場の量子論」においても重要な役割をはたします。

バエズは、彼は、このアナロジーをさらに推し進めます。物理学とトポロジーだけでなく、論理学と計算理論もリストに加えて、数理科学の「パラレル・コーパス」を作成するのです！

導きの糸となったのは、カテゴリー論の基本的な構成要素である、「オブジェクト」と「モルフィズム」の対応物を、これらの理論に中に見つけることでした。　

　・物理学でオブジェクトに対応するのは「システム」で、モルフィズムに対応するのは、「プロセス」。
　・トポロジーでオブジェクトに対応するのは「多様体」、モルフィズムに対応するのは「cobordism」。
　・論理学でオブジェクトに対応するのは「命題」、モルフィズムに対応するのは「証明」。
　・計算理論でオブジェクトに対応するのは「データ型」、モルフィズムに対応するのは「データ型の積」。

こうして、カテゴリー論のオブジェクトとモルフィズムの対応に導かれて、物理学とトポロジーと論理学と計算理論のRosetta Stoneの骨組みが完成します！

バエズが用いたカテゴリーは、Monoidal Category と呼ばれるものです。Monodal Categoryは、オブジェクトのテンソル積とモルフィズムのテンソル積が定義されているCategoryと思っていいです。

先のRosetta Stoneの骨組みに、それぞれの数理科学のオブジェクトのテンソル積とモルフィズムのテンソル積の対応物を見つけていけば、BaezのRosetta Stone は完成します！

こうして、カテゴリー論は、それ自身数理科学の一分野なのですが、21世紀の数理科学全体を貫くものとして振る舞うことになります。21世紀は、カテゴリー論の時代なのです。

バエズの論文は、数理科学におけるMonoidal Categoryの重要性を強く打ち出すとともに、もう一つ重要な特徴があります。それは、Monoidal Categoryの記述に、String Diagram という図式を使っていることです。

意外に思われるかもしれませんが、現代の数理科学のエッセンスともいうべき、Monoidal Categoryがどういうものであるかは、実は、このString Diagramを利用すると、直感的に容易に理解可能なのです。スライドの後半とビデオでの説明をご覧ください。

最後に、こうした数理科学に対するカテゴリー論的アプローチは、現代の人工知能技術に、どのように関係しているのでしょうか？ 

あまり関係ないように思われるかもしれません。でも、そうではないのです。

現在の人工知能技術の主流である「大規模言語モデル」の中核は「意味の分散表現」技術です。「意味の分散表現」の最先端の研究は、カテゴリー論アプローチを採用しているのです。

それについては、昨年の12月に行ったセミナー「ことばと意味の「構成性」について」の第三部　「意味の構成性 -- カテゴリー論的分散意味論 --」を参照ください。
https://www.marulabo.net/docs/discocat/

-------------------------------------

「 Rosetta Stone、再び 」を公開しました。
https://youtu.be/U9IIKbmeD9I?list=PLQIrJ0f9gMcMMwP2zBgMe3LbaDnKGG_zw

資料pdf
https://drive.google.com/file/d/12fvxOoRIOfFmC6ZgWxtEHsZmROOlf1C-/view?usp=sharing

blog：「カテゴリー論の時代始まる 」
https://maruyama097.blogspot.com/2023/03/rosetta-stone.html

「人工知能と数学」まとめページ
https://www.marulabo.net/docs/aimath/

セミナーの申し込み
https://ai-math.peatix.com/

コメント

コメントを投稿

このブログの人気の投稿

マルレク・ネット「エントロピーと情報理論」公開しました。

イメージ
前回の秋葉原でのマルレクのネット配信が始まりました。 https://crash.academy/class/156 タイトルを「エントロピーと情報理論 -- 量子情報理論入門 -- 」に変更しました。最初の30分は、無料です。 次回のマルレク「量子コンピュータとは何か？」の導入となるコンテンツです。 講演資料は、こちらです。 https://goo.gl/CKayix  あわせて、ご利用ください。 　　　--------------------------------- 　　　マルレク・ネット　ビデオ・コンテンツ　 　　　--------------------------------- 　「エントロピーと情報理論」 　　　　 https://crash.academy/class/156 　「人工知能の歴史を振り返る」 　　　　 https://crash.academy/class/139/ 　「ニューラル・コンピューターとは何か？」 　　　　 https://crash.academy/class/101/ 　「Google ニューラル機械翻訳」 　　　　 https://crash.academy/class/76/ 　「RNNとLSTMの基礎」 　　　　 https://crash.academy/class/66/
続きを読む

初めにことばありき

旧約の「創世記」の「光よあれ」は、ビッグバンを思わせて、物理学者はちょっと萌えるかもしれないのだが、新約の「ヨハネによる福音書」には、言語学者が喜びそうなフレーズがある。 「初めに言があった。言は神と共にあった。言は神であった。」 僕が知っていたのは、「はじめにことばありき」という訳だったのだが。この口語訳での「言」は、英訳だとこうなっている。 "In the beginning was the Word, and the Word was with God, and the Word was God." 「言」= "Word" である。はじめにあったのは、Wordであって、Language ではない。だから、新しい口語訳では、普段、あまり馴染みない「言」という訳語を使ったのかも。「初めに語があった」では、なんかしまらないんだろうな。（僕は、「はじめにことばありき」というフレーズの方が好きだ。） ちなみに、「ヨハネによる福音書」は、英語では、"Gospel of John" という。「ジョンのゴスペル」である。でも、そう日本語に訳してしまうと、ジョン・レノンがバラードではなく、ゴスペルを歌っているようで、まずいんだろうな。 「ことば」・「言」・"Word" と訳されている、元々の言葉を調べてみると面白い。 キリスト教のオーソドックスな原典であるラテン語訳聖書では、この部分は、こうなる。 "In principio erat Verbum, et Verbum erat apud Deum, et Deus erat Verbum" 「イン・プリンキピオー・エラト・ウェルブム」 英訳 Word のラテン語の原語は、Verbum である。この単語、英語に直訳すれば、Verbである。「初めに、動詞があった。」　言語学の「従属性文法 (Dependency Grammar) 」理論の人たち、喜びそう。 もっとも、英語のVerbは、元々は、動詞というより広く言葉全体をさしてたらしい。そのことは、「ノンバーバル・コミュニケーション (Non-Verbal Communication) 」というのが、動詞を使わないコミュニケーション...
続きを読む

宇宙の終わりと黒色矮星

イメージ
【宇宙の終わりと黒色矮星】 図のようなストーリーで、「宇宙の終わりとエントロピー」という投稿を準備していたのだが、いろいろ雑念が湧いて気がすすまなくなる。その理由は別稿で。 この図は、「閉じられた部屋でのガスの拡散」というわかりやすいモデルで理解されるエントロピーの増大の法則が、あるフェーズから、宇宙規模でみれば、「全ての物質のブラックホールへの吸収・収斂」として現れると言うことを主張している。最初、ペンローズのこの話を読んだときには、目からウロコだった。 このストーリーにはもっと先がある。最近のシミュレーションでは、指数関数的に膨張する宇宙では、巨大なブラックホールに捕捉されるのは、宇宙全体の物質の10%程度だという。恒星起源のブラックホールは 10^67 年で、銀河系中心の巨大ブラックホールも 10^99年で、ホーキング放射で「蒸発」し姿を消す。 ブラックホールに捕捉されなかった宇宙の残りの90%の物質は、元それが属した銀河系から孤立したまま星の一生の進化を続ける。太陽の1.2倍程度の質量を持つ星は「白色矮星」になるのだが、「白色矮星」は 10^17年で「黒色矮星」に変わる。 「黒色矮星」は、現代の「宇宙の終末論」では、もっとも注目されている天体なのだが、それはまだ観測されていないと言う。というのも、この天体は光を出さないからだ。「黒色矮星」の中心は、最も安定な原子である鉄の「結晶」でできていて、温度は絶対零度近くに冷却されている。 「黒色矮星」は、とても長生きする天体である。陽子崩壊がおきるなら、黒色矮星の寿命は 10^32年程度だが、もし陽子が安定しているとすれば、太陽の 1.24倍程度の質量を持つ「黒色矮星」は、10^1600年後に突然崩壊して超新星爆発を起こす。もっと軽い、太陽の1.16倍程度の質量を持つ「黒色矮星」は、10^32000 年後（！）に超新星爆発を起こす。 このシナリオによれば、宇宙は、とてつもなく長い長い退屈な時間をかけて、その死を迎える。「黒色矮星」の超新星爆発は、宇宙の死を飾る最後の打ち上げ花火である。その後には、宇宙には何も起こらない。 この記事は、ジョン・バエズの "Black Dwarf Supernovae" を基にしたものだ。https://johncarlosbaez.wordpress.com/202...
続きを読む