ランダムさ への新しいアプローチ

【 ランダムさ への新しいアプローチ 】

https://youtu.be/Ks4iav2PR10?list=PLQIrJ0f9gMcOWKDmKxI3aJ6UYf6gaPa2K

ランダムさへのアプローチは、1960年代の半ばに、旧ソヴィエトの数学者コロモゴロフとその学派が登場して、新しい段階に入りました。

「コロモゴロフ複雑性」を中心的な武器とした「アルゴリズム論的情報理論」は、チャーチ＝チューリングらの計算理論との接点を深化し（Chaitinの「不完全性定理」)、また、シャノンの情報理論との結びつきを探求します(「条件付きエントロピー」、「相互エントロピー」)。

ここでは、まず、彼らのランダムさへのアプローチの概略を、次の三つのトピックで、紹介しようと思います。

　● 「オブジェクトの記述」＝「プログラム」
　● プログラムの長さへの注目
　● 圧縮可能な情報と圧縮不可能な情報

【「オブジェクトの記述」＝「プログラム」】

ある認識の対象を「記述」するには、いろいろな方法があります。

・その定義を、記述する。
・その特徴を、記述する。
・その時間的変化を、記述する。
・その意味を、記述する。
・ …

アルゴリズム論的情報理論では、少なくとも文字列として表現されるもの（それは、基本的には {0, 1}^∗ すなわち、0と1の並び　に還元されるのですが）、その「記述」とは、その文字列を出力する「プログラム」に等しいと考えます。


【 プログラムの長さへの注目 】

私たちの認識の対象は、多様です。対象の「記述」＝「プログラム」だとしても、ある対象を「記述」する「プログラム」も多様です。

一般的にいって、対象が複雑であれば、その「記述」、すなわちその対象を出力する「プログラム」も複雑なものになり、対象が単純なものであれば、その対象を出力する「プログラム」も単純なものになるのは、容易に想像できると思います。

プログラムの複雑さを、そのプログラムの「長さ」で代表させましょう。そうすることで、我々の認識の対象に、その複雑さを表す尺度を導入できます。

ある対象xを出力するプログラムは、複数あり得ます。この複数あるxを出力するプログラムで、最小の長さを持つものの長さを、xの「コロモゴロフ複雑性」と言います。

確認して欲しいのは、このように、xのコロモゴロフ複雑性は、一つの自然数だということです。

もうひとつ確認しておきましょう。「記述」＝「プログラム」のプログラムは、基本的には、{0, 1}^∗ すなわち、0と1の並びだと考えることが出来るということです。


【 圧縮可能な情報と圧縮不可能な情報 】

同じxについて異なる二つの「記述」があったとしましょう。それは、xを出力とする異なる二つのプログラムp1とp2があるということです。

プログラム pの長さを |p|で表します。|p1| < |p2|だとしましょう。「xの記述」＝「プログラム」 p2は、 「xの記述」＝「プログラム」 p1より長いということです。それは、同じxを出力するのに、プログラムp2は、プログラムp1より、冗長で無駄が多いということです。

こうした時、プログラムp2は、p1に「圧縮可能」だとしましょう。

先に見たような、プログラムが「圧縮可能」かのチェックを行い、それを短い圧縮されたプログラムに置き換えることは、プログラマーが、普段よく行っていることです。

それでは、こうしたプログラムの改善・圧縮は、どこまで可能でしょうか？

nをxの「コロモゴロフ複雑性」としましょう。

「コロモゴロフ複雑性」いうのは、xを出力するプログラムの長さの最小のものですので、|p|=n を達成したプログラムpは、これ以上短かなプログラムに圧縮することはできません。

プログラムには、より短いプログラムに圧縮可能なものと、それ以上の圧縮が不可能なプログラムの二種類が存在することになります。

ここまでは、プログラムが「圧縮可能」か「圧縮不可能」かについて話してきましたが、おなじ論法で、ある対象xが「圧縮可能」か「圧縮不可能」かを、コロモゴロフ複雑性K(x)を利用して定義することができます。

次がコロモゴロフによる、 xが「圧縮不可能」である条件です。

　　𝐾(𝑥) ≥ |𝑥|−𝑐

コロモゴロフらは、この条件が、xがランダムであることを表すと考えます。

----
このショートムービーのpdfファイルは、次から利用できます。
https://drive.google.com/file/d/1ecwAiPEybsVeQxWsOKqCipvAHV0MeZ7T/view?usp=sharing

セミナー「計算科学とエントロピー」のまとめページは、こちらです。

セミナーへのお申し込みは、次のサイトからお願いします。

コメント

コメントを投稿

このブログの人気の投稿

マルレク・ネット「エントロピーと情報理論」公開しました。

イメージ
前回の秋葉原でのマルレクのネット配信が始まりました。 https://crash.academy/class/156 タイトルを「エントロピーと情報理論 -- 量子情報理論入門 -- 」に変更しました。最初の30分は、無料です。 次回のマルレク「量子コンピュータとは何か？」の導入となるコンテンツです。 講演資料は、こちらです。 https://goo.gl/CKayix  あわせて、ご利用ください。 　　　--------------------------------- 　　　マルレク・ネット　ビデオ・コンテンツ　 　　　--------------------------------- 　「エントロピーと情報理論」 　　　　 https://crash.academy/class/156 　「人工知能の歴史を振り返る」 　　　　 https://crash.academy/class/139/ 　「ニューラル・コンピューターとは何か？」 　　　　 https://crash.academy/class/101/ 　「Google ニューラル機械翻訳」 　　　　 https://crash.academy/class/76/ 　「RNNとLSTMの基礎」 　　　　 https://crash.academy/class/66/
続きを読む

初めにことばありき

旧約の「創世記」の「光よあれ」は、ビッグバンを思わせて、物理学者はちょっと萌えるかもしれないのだが、新約の「ヨハネによる福音書」には、言語学者が喜びそうなフレーズがある。 「初めに言があった。言は神と共にあった。言は神であった。」 僕が知っていたのは、「はじめにことばありき」という訳だったのだが。この口語訳での「言」は、英訳だとこうなっている。 "In the beginning was the Word, and the Word was with God, and the Word was God." 「言」= "Word" である。はじめにあったのは、Wordであって、Language ではない。だから、新しい口語訳では、普段、あまり馴染みない「言」という訳語を使ったのかも。「初めに語があった」では、なんかしまらないんだろうな。（僕は、「はじめにことばありき」というフレーズの方が好きだ。） ちなみに、「ヨハネによる福音書」は、英語では、"Gospel of John" という。「ジョンのゴスペル」である。でも、そう日本語に訳してしまうと、ジョン・レノンがバラードではなく、ゴスペルを歌っているようで、まずいんだろうな。 「ことば」・「言」・"Word" と訳されている、元々の言葉を調べてみると面白い。 キリスト教のオーソドックスな原典であるラテン語訳聖書では、この部分は、こうなる。 "In principio erat Verbum, et Verbum erat apud Deum, et Deus erat Verbum" 「イン・プリンキピオー・エラト・ウェルブム」 英訳 Word のラテン語の原語は、Verbum である。この単語、英語に直訳すれば、Verbである。「初めに、動詞があった。」　言語学の「従属性文法 (Dependency Grammar) 」理論の人たち、喜びそう。 もっとも、英語のVerbは、元々は、動詞というより広く言葉全体をさしてたらしい。そのことは、「ノンバーバル・コミュニケーション (Non-Verbal Communication) 」というのが、動詞を使わないコミュニケーション...
続きを読む

宇宙の終わりと黒色矮星

イメージ
【宇宙の終わりと黒色矮星】 図のようなストーリーで、「宇宙の終わりとエントロピー」という投稿を準備していたのだが、いろいろ雑念が湧いて気がすすまなくなる。その理由は別稿で。 この図は、「閉じられた部屋でのガスの拡散」というわかりやすいモデルで理解されるエントロピーの増大の法則が、あるフェーズから、宇宙規模でみれば、「全ての物質のブラックホールへの吸収・収斂」として現れると言うことを主張している。最初、ペンローズのこの話を読んだときには、目からウロコだった。 このストーリーにはもっと先がある。最近のシミュレーションでは、指数関数的に膨張する宇宙では、巨大なブラックホールに捕捉されるのは、宇宙全体の物質の10%程度だという。恒星起源のブラックホールは 10^67 年で、銀河系中心の巨大ブラックホールも 10^99年で、ホーキング放射で「蒸発」し姿を消す。 ブラックホールに捕捉されなかった宇宙の残りの90%の物質は、元それが属した銀河系から孤立したまま星の一生の進化を続ける。太陽の1.2倍程度の質量を持つ星は「白色矮星」になるのだが、「白色矮星」は 10^17年で「黒色矮星」に変わる。 「黒色矮星」は、現代の「宇宙の終末論」では、もっとも注目されている天体なのだが、それはまだ観測されていないと言う。というのも、この天体は光を出さないからだ。「黒色矮星」の中心は、最も安定な原子である鉄の「結晶」でできていて、温度は絶対零度近くに冷却されている。 「黒色矮星」は、とても長生きする天体である。陽子崩壊がおきるなら、黒色矮星の寿命は 10^32年程度だが、もし陽子が安定しているとすれば、太陽の 1.24倍程度の質量を持つ「黒色矮星」は、10^1600年後に突然崩壊して超新星爆発を起こす。もっと軽い、太陽の1.16倍程度の質量を持つ「黒色矮星」は、10^32000 年後（！）に超新星爆発を起こす。 このシナリオによれば、宇宙は、とてつもなく長い長い退屈な時間をかけて、その死を迎える。「黒色矮星」の超新星爆発は、宇宙の死を飾る最後の打ち上げ花火である。その後には、宇宙には何も起こらない。 この記事は、ジョン・バエズの "Black Dwarf Supernovae" を基にしたものだ。https://johncarlosbaez.wordpress.com/202...
続きを読む