分配関数 Z – 統計力学の方法を振り返る

【 分配関数 Z – 統計力学の方法を振り返る 】

https://youtu.be/li-BsDN9JBY?list=PLQIrJ0f9gMcOWKDmKxI3aJ6UYf6gaPa2K

前回、アルゴリズム論的情報量に確率の概念を導入することができて、そうするとシャノンの情報量との関係がわかってくるという話をしました。アルゴリズム論的情報量をある数Zで割ると、その総和が1となるような確率p_n が定義できるということでした。

今回は、そのZがどういうものかという話です。二つの見方を紹介します。

一つは、アルゴリズム論的情報理論的には、ここで導入されたZの値は、ある条件のもとでは、チャイティンのΩに等しくなります。これは、とても面白いことなのですが、今回は深入りしません。

もう一つは、このZは、統計力学的には分配関数と言われるものと同じ役割を果たしているということです。今回は、改めて、統計力学の方法を振り返ってみようと思います。

ある条件が与えられた時に、ある式が極値をもつが条件を考えようというアプローチです。熱力学的には、ある条件として系のエネルギーの平均値Eが与えられた時、エントロピーSが最大になる条件を考えていきます。
 
与えられた拘束条件を、C1 = 0 , C2 = 0 の形で表せば、

　　S = S + α・C1 + β・C2

と書き換えることができます。（後ろの二項はゼロですので）

この時、エントロピーSが最大になる必要な条件は、上の式を何らかの変数で微分したとき、その値がゼロになることです。こうして、α、βが満たすべき条件を得ることができます。

具体的には、拘束条件 C1として「確率の和は1になる」、拘束条件 C2として「系のエネルギーの平均値はEである」という条件を利用します。

こうしたやり方を「ラグランジェの未定乗数法」というのですが、その中で、Zを導入します。Zの具体的な導出は、スライドのpdfをご覧ください。

詳しくは、マルゼミ「情報とエントロピー」を参照ください。

ここでは、拘束条件は二つとしたのですが、「ラグランジェの未定乗数法」は、次のような　拘束条件がもっと多い場合にも、同じように使えます。

　　S = S + α・C1 + β・C2 + γ・C3 + δ・C4 +  ....

-----------

ショートムービーのpdfファイルは、次から利用できます。https://drive.google.com/file/d/1n4UA2AvgX_C_g-z-w3t22wzqxy2sYu_l/view?usp=sharing

セミナー「コロモゴロフ複雑性とアルゴリズム論的情報理」のまとめページは、こちらです。https://www.marulabo.net/docs/info-entropy4/

セミナーのAgendaはこちらです。https://maruyama097.blogspot.com/2021/09/agenda-93.html

セミナーへのお申し込みは、次のサイトからお願いします。

コメント

コメントを投稿

このブログの人気の投稿

マルレク・ネット「エントロピーと情報理論」公開しました。

イメージ
前回の秋葉原でのマルレクのネット配信が始まりました。 https://crash.academy/class/156 タイトルを「エントロピーと情報理論 -- 量子情報理論入門 -- 」に変更しました。最初の30分は、無料です。 次回のマルレク「量子コンピュータとは何か？」の導入となるコンテンツです。 講演資料は、こちらです。 https://goo.gl/CKayix  あわせて、ご利用ください。 　　　--------------------------------- 　　　マルレク・ネット　ビデオ・コンテンツ　 　　　--------------------------------- 　「エントロピーと情報理論」 　　　　 https://crash.academy/class/156 　「人工知能の歴史を振り返る」 　　　　 https://crash.academy/class/139/ 　「ニューラル・コンピューターとは何か？」 　　　　 https://crash.academy/class/101/ 　「Google ニューラル機械翻訳」 　　　　 https://crash.academy/class/76/ 　「RNNとLSTMの基礎」 　　　　 https://crash.academy/class/66/
続きを読む

初めにことばありき

旧約の「創世記」の「光よあれ」は、ビッグバンを思わせて、物理学者はちょっと萌えるかもしれないのだが、新約の「ヨハネによる福音書」には、言語学者が喜びそうなフレーズがある。 「初めに言があった。言は神と共にあった。言は神であった。」 僕が知っていたのは、「はじめにことばありき」という訳だったのだが。この口語訳での「言」は、英訳だとこうなっている。 "In the beginning was the Word, and the Word was with God, and the Word was God." 「言」= "Word" である。はじめにあったのは、Wordであって、Language ではない。だから、新しい口語訳では、普段、あまり馴染みない「言」という訳語を使ったのかも。「初めに語があった」では、なんかしまらないんだろうな。（僕は、「はじめにことばありき」というフレーズの方が好きだ。） ちなみに、「ヨハネによる福音書」は、英語では、"Gospel of John" という。「ジョンのゴスペル」である。でも、そう日本語に訳してしまうと、ジョン・レノンがバラードではなく、ゴスペルを歌っているようで、まずいんだろうな。 「ことば」・「言」・"Word" と訳されている、元々の言葉を調べてみると面白い。 キリスト教のオーソドックスな原典であるラテン語訳聖書では、この部分は、こうなる。 "In principio erat Verbum, et Verbum erat apud Deum, et Deus erat Verbum" 「イン・プリンキピオー・エラト・ウェルブム」 英訳 Word のラテン語の原語は、Verbum である。この単語、英語に直訳すれば、Verbである。「初めに、動詞があった。」　言語学の「従属性文法 (Dependency Grammar) 」理論の人たち、喜びそう。 もっとも、英語のVerbは、元々は、動詞というより広く言葉全体をさしてたらしい。そのことは、「ノンバーバル・コミュニケーション (Non-Verbal Communication) 」というのが、動詞を使わないコミュニケーション...
続きを読む

宇宙の終わりと黒色矮星

イメージ
【宇宙の終わりと黒色矮星】 図のようなストーリーで、「宇宙の終わりとエントロピー」という投稿を準備していたのだが、いろいろ雑念が湧いて気がすすまなくなる。その理由は別稿で。 この図は、「閉じられた部屋でのガスの拡散」というわかりやすいモデルで理解されるエントロピーの増大の法則が、あるフェーズから、宇宙規模でみれば、「全ての物質のブラックホールへの吸収・収斂」として現れると言うことを主張している。最初、ペンローズのこの話を読んだときには、目からウロコだった。 このストーリーにはもっと先がある。最近のシミュレーションでは、指数関数的に膨張する宇宙では、巨大なブラックホールに捕捉されるのは、宇宙全体の物質の10%程度だという。恒星起源のブラックホールは 10^67 年で、銀河系中心の巨大ブラックホールも 10^99年で、ホーキング放射で「蒸発」し姿を消す。 ブラックホールに捕捉されなかった宇宙の残りの90%の物質は、元それが属した銀河系から孤立したまま星の一生の進化を続ける。太陽の1.2倍程度の質量を持つ星は「白色矮星」になるのだが、「白色矮星」は 10^17年で「黒色矮星」に変わる。 「黒色矮星」は、現代の「宇宙の終末論」では、もっとも注目されている天体なのだが、それはまだ観測されていないと言う。というのも、この天体は光を出さないからだ。「黒色矮星」の中心は、最も安定な原子である鉄の「結晶」でできていて、温度は絶対零度近くに冷却されている。 「黒色矮星」は、とても長生きする天体である。陽子崩壊がおきるなら、黒色矮星の寿命は 10^32年程度だが、もし陽子が安定しているとすれば、太陽の 1.24倍程度の質量を持つ「黒色矮星」は、10^1600年後に突然崩壊して超新星爆発を起こす。もっと軽い、太陽の1.16倍程度の質量を持つ「黒色矮星」は、10^32000 年後（！）に超新星爆発を起こす。 このシナリオによれば、宇宙は、とてつもなく長い長い退屈な時間をかけて、その死を迎える。「黒色矮星」の超新星爆発は、宇宙の死を飾る最後の打ち上げ花火である。その後には、宇宙には何も起こらない。 この記事は、ジョン・バエズの "Black Dwarf Supernovae" を基にしたものだ。https://johncarlosbaez.wordpress.com/202...
続きを読む