ベクトルは関数なんです

【 ベクトルは関数なんです 】

この章では、以後の議論で利用するノーテーションを確認します。

次の二つのノテーションについてふれようと思います。
　○ Bra-Ket記法
　○ テンソル・ネットワーク

この二つのノテーションについては、次のMaruLabo の資料も参考にしてください。
　○ 「ケット |k＞ で理解する量子の世界」
　　https://www.marulabo.net/docs/ket-talk/　
　○ 「テンソルとは何か？ Tensor Network 入門」
　　https://www.marulabo.net/video/tensor-network/　
　　（ただし、このページの動画は「無声映画」です。ごめんなさい。）

このセッションでは、Bra-Ket記法を扱います。

Sを有限集合とする時、Sの要素上で定義され複素数Cに値を持つ関数 S → C の集まり 𝑉を、S上のベクトル空間といいます。これを V = C^S で表します。

大事なこと。ベクトルって、関数なんです。
ベクトルのこと、Sのいくつかの要素の並びだと思っていませんか？ 見かけ上はそれでもいいんですが、それでも関数なんです。（何言ってんだか）

s ∈ Sの時 |s＞で、SからCへの関数であるベクトルを表します。これを、ket 記法といいます。

Sの要素がn個あって、それが番号をつけられて順番に並んでいるとします。この時、「Sの要素sからCへの関数」は「番号i を持つSの要素からCへの関数」ですので、「 iからCへの関数」と同じだと考えることができます。この対応を、 C^S ≅ C^𝑛 と表します。

ベクトル v = [ 1, 9, 4, 8 ] だとしましょう。このベクトルが関数だということは、このベクトルが、v(0) = 1, v(1) = 9,  v(2) = 4, v(3) = 8 という関数v によって定義されていると考えることです。

Sの要素を S = { s0, s1, s2, ... } とすると、先の対応のもと、|s0＞は|0＞、|s1＞は|1＞、|s2＞は|2＞、... と書き換えることができます。こちらの方が見やすいですね。

このセッションでは、主要に次の四つのことを説明します。

　● V ⊗ W* は、V → W という写像を与える。

　● ベクトルのテンソル積は、その列ベクトルの外積である。

　● 線形演算子 |𝑣′＞＜𝑣|の traceは、内積 ＜𝑣|𝑣'＞に等しい。

　● テンソル積の外積は、外積のテンソル積である。

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「 ノテーションの確認 (1) -- Bra-Ket 記法 」を公開しました。
https://youtu.be/jioT9cXsI5A?list=PLQIrJ0f9gMcOByaj0vK9cnGyaEUFUadh4

資料pdf
https://drive.google.com/file/d/1Fo808lNltFsc9TUVzHlWuMrNOnfFi-N7/view?usp=sharing

blog：「 ベクトルは関数なんです」
https://maruyama097.blogspot.com/2023/02/blog-post_12.html

まとめページ
https://www.marulabo.net/docs/density2/


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