「大規模言語モデルの数学的構造」第二部へのお誘い

【「大規模言語モデルの数学的構造」第二部へのお誘いと第一部のふりかえり 】

先月のセミナー、「大規模言語モデルの数学的構造 I -- 言語へのカテゴリー論的アプローチ入門 」に、多くの人に（「当社比」ですが）関心を持っていただいて、ありがとうございました。

この連続セミナーは、基本的には、Tai-Danae Bradleyらの論文 "An enriched category theory of language: from syntax to semantics" の紹介を目指したものです。先月のセミナーの第一部は、この論文の基本的特徴である言語理論へのカテゴリー論アプローチの基礎を解説したものです。

今月、セミナーの第二部を「大規模言語モデルの数学的構造 II -- enriched categoryによる言語モデル」というタイトルで開催します。

ここで、第一部では取り上げていなかった、先の論文の主題である、enriched category を用いたsyntaxからsemanticsにいたる言語理論の紹介をしようと思います。第二部から、いよいよ、連続セミナーの本題に入ることになります。

あらためて、多くの人のセミナー第二部への参加をお願いしたいと思います。

【 第一部のふりかえり 】

ここでは、第一部で見てきたことを簡単にふりかえります。 

【 言語のカテゴリー Lを、preorder category として捉える 】

言語を構成する意味を持つ文字列である、語・フレーズ・文・文の連続 ... を「表現」とします。任意の表現 S, Tについて、表現Sの文字列が表現Tの部分文字列であるとき、S ≦ Tと順序を定義します。

この順序は、次の性質が確かめられますので preorder（前順序）です。
　1. S ≦ S  （反射律）
　2. S ≦ T かつ T ≦ U なら、S ≦ U （推移律）

この時、言語の表現をオブジェクトとし、表現間の順序 S ≦ T を S → T という射（モルフィズム）を定義すると考えると、言語は、preorder category として捉えることができることがわかります。

ここでは、次のことに注意しましょう。
　・この言語のカテゴリー L では、二つの異なるオブジェクト間の射は、
　　ただ一つ存在するか、あるいは、全く存在しないかのいずれかです。
　・この言語のカテゴリー L は、ある言語が文字表現を持つ限り、
　　日本語、英語、... といった違いを超えた言語の特徴を表現しています。


【 表現 Sの「意味」を、カテゴリー L 内の S → T なる射全体の集合と考える 】

Firth は、次のような言葉を残しています。
「我々は、ある語を、それが引きつれている仲間たちによって知ることになる。」

こうした意味の理解をベースにして、ある表現Sの意味を、それが「引きつれている仲間たち」の全体の集合で考えることにします。Sの「仲間たち」とは、S → T なる射が存在する表現Tのことです。

それらの全体を考えるということは、S → T なる射全体の集合を考えるということと同じことです。

【 意味のカテゴリーは、copresheaf Set^L で表現される 】

カテゴリー L 内の S → T なる射を、L(S, T) と表します。また、L(S, − ) で、Sの意味を表現している、Sのすべての「仲間たち」への「射全体の集合」を表すことにしましょう。

SがLのオブジェクトである時、それに対応する意味のカテゴリーを構成しているオブジェクトは、射全体の集合L(S, − )だと考えることができます。この対応は、カテゴリーL から集合のカテゴリーSetへのfunctorを考えることに他なりません。

カテゴリー論では、カテゴリーCから集合のカテゴリーSetに値を持つfunctorで構成されるカテゴリーを、Set^Cで表し、C上のcopresheaf と呼びます。

意味のカテゴリーは、言語のカテゴリー L から、集合のカテゴリー Setに値を持つ、functor で構成される L上のcopresheaf で表現されることになります。


【 言語のカテゴリーと意味のカテゴリーの対応は、Yoneda Embeddingで与えられる 】

言語のカテゴリー Lと意味のカテゴリー Set^Lの対応は、LのオブジェクトSに、Set^LのオブジェクトL(S, − )を対応付けるものです。

こうした対応づけをYoneda Embeddingと呼びます。

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ショートムービー「 「大規模言語モデルの数学的構造」第二部へのお誘いと第一部のふりかえり」を公開しました。
https://www.youtube.com/watch?v=3oC3bMc6KqM&list=PLQIrJ0f9gMcPmrJ3B0LEXJ_SHPP-ak_hw&index=1&pp=gAQBiAQB

「 「大規模言語モデルの数学的構造」第二部へのお誘いと第一部のふりかえり」のpdf資料
https://drive.google.com/file/d/1-YXFrAVLu9JSYPQM-pB3V6S20ldCg_43/view?usp=sharing

blog 「 「大規模言語モデルの数学的構造」第二部へのお誘いと第一部のふりかえり 」
https://maruyama097.blogspot.com/2024/01/blog-post.html

「大規模言語モデルの数学的構造 II」まとめページ
https://www.marulabo.net/docs/llm-math2/

ショートムービーの再生リスト
https://www.youtube.com/playlist?list=PLQIrJ0f9gMcPmrJ3B0LEXJ_SHPP-ak_hw

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