commutative monoidal preorder

【 少し困ったこと 】

ここでは、カテゴリーVがenrichするカテゴリーである条件を述べたいと思います。

ただ、少し困ったことがあります。enriched category理論の論文を読むと、その条件は、Vがsymmetric monoidal preorder であることと述べられているのですが、Tai-Danaeらの論文では、Vがcommutative monoidal preorder であるとして議論が展開されています。

　symmetric:       𝑦⊗𝑥 ≤ 𝑥⊗𝑦

　commutative:   𝑦⊗𝑥 = 𝑥⊗𝑦

の違いだと思います。

その意味では、 symmetric monoidal preorder と commutative monoidal preorder の概念は異なるものです。 symmetric monoidal preorder の方が広い概念です。

ただ、順序がpreorderではなく poset だとすると、

𝑦⊗𝑥 ≤ 𝑥⊗𝑦 かつ 𝑦⊗𝑥 ≤ 𝑥⊗𝑦 から 𝑦⊗𝑥 = 𝑥⊗𝑦 が導かれるので、両者の概念は一致します。

Tai-Danaeらの論文が扱っている言語の文字列表現の順序関係は、もちろん preorderでもありますが、posetです。

ですので、あの論文で、enrich化するカテゴリーとしてcommutative monoidal preorder で議論を進めているのは間違っている訳ではありません。

基本的に、論文の記述に沿って解説を行いたいと思います。

【 commutative monoidal preorderの定義 】

まず、commutative monoidal preorderの定義を見ていきたいと思います。

こんな形です。

commutative monoidal preorder (𝑉,≤,⊗,1) は、preorder (𝑉,≤) 上の、次の条件を満たす commutative monoid (𝑉,⊗,1) である。

　𝑥 ≤ 𝑥′  かつ 𝑦 ≤ 𝑦′ ならば、𝑥⊗𝑦 ≤ 𝑥′⊗𝑦′

この条件は、順序だけからなるpreorder (𝑉,≤) の世界を、二項演算だけからなるmonoid (𝑉,⊗,1)の世界を結びつけて、 monoidal preorder (𝑉,≤,⊗,1)を構成する役割を持っていると考えるのがいいと思います。

その上で、このVによってenrich化されることの定義を考えましょう。

【 V-enriched categoryとは何か？ 】

(𝑉,≤,⊗,1) を、commutative monoidal preorder としましょう。

この時、Vでenrich化されたカテゴリー（単純に、V-カテゴリーと呼んでもいい）を、次の様に定義します。

　・V-カテゴリーは、Cと同じオブジェクトを持つ。

　・また、 V-カテゴリーは、その任意のオブジェクトのペア x, y について、V-homオブジェクトと言われる 𝐶(𝑥,𝑦) ∈ 𝑉を持つ。

　・このV-homオブジェクトは、すべての𝑥,𝑦,𝑧∈𝑉について、次の条件をみたす。

　　　1 ≤ 𝐶(𝑥,𝑥)

　　　𝐶(𝑦,𝑧) ⊗ 𝐶(𝑥,𝑦) ≤ 𝐶(𝑥,𝑧)

【 単位区間 [0,1]はcommutative monoidal preorder である 】

monoidal product ⊗ を普通の実数間の掛け算とし、monoidal unit を 1 とし、preorderの順序関係≤を 通常の実数間の大小関係とすればいいのです。

この単位区間 [0,1] で enrich化されたカテゴリー、 [0,1]-カテゴリーは、Cと同じオブジェクトを持ち、すべての𝑥,𝑦∈𝐶で定義された[0,1]に値を取る関数(𝑥,𝑦)⟼𝐶(𝑥,𝑦)を持ちます。

この𝐶(𝑥,𝑦)は、次の条件を満たします。

　　すべての 𝑥 ∈ 𝐶 について、 𝐶(𝑥,x) = 1

　　すべての𝑥,𝑦,𝑧 ∈ 𝐶 について、𝐶(𝑦, 𝑧)𝐶(𝑥, 𝑦)  ≤  𝐶(𝑥, 𝑧)

--------------------------------

ショートムービー「 commutative monoidal preorder」を公開しました。

https://youtu.be/RY-2SykxK7s?list=PLQIrJ0f9gMcPmrJ3B0LEXJ_SHPP-ak_hw

「 commutative monoidal preorder」のpdf資料https://drive.google.com/file/d/1Bs8HSd2-GYLVysIPwoID7rc1Gdw_XtmJ/view?usp=sharing

blog 「 少し困ったこと」

https://maruyama097.blogspot.com/2024/01/commutative-monoidal-preorder.html

「大規模言語モデルの数学的構造 II」まとめページ
https://www.marulabo.net/docs/llm-math2/

ショートムービーの再生リスト
https://www.youtube.com/playlist?list=PLQIrJ0f9gMcPmrJ3B0LEXJ_SHPP-ak_hw