enriched functor と enriched copresheaf

【 functor category をenrich化する 】

このセッションの目的は、カテゴリー C からカテゴリーDへのfunctor 𝐶→𝐷 であるcopresheaf 𝐷^𝐶のenrich版を構成することです。

まず、functorの定義を振り返りながら、enrich化されたfunctorを定義します。

ここでは、次のような定義が与えられます。

「CとDを、あるcommutative monoidal preorder (V, ⊗, ≤, 1)上でenrich化されたカテゴリーとする。この時、Cのすべてのオブジェクト 𝑥,𝑦について
　　 𝐶(𝑥,𝑦) ≤ 𝐷(𝑓𝑥,𝑓𝑦)
を満たす関数  𝑓: 𝐶 → 𝐷 を enriched functorと呼ぶ。」

ここで、C(x,y), D(x',y')は、enriched category のhomオブジェクトです。

次に、functorカテゴリーの定義とcopresheafの定義を振り返りながら、enrich化されたcopresheafの定義を考えていきます。

Vがclosed commutative monoidal preorder の時、Vは自分自身でenrich化されたカテゴリーになります。先の定義で見た、enrich化されたfunctor f: C → 𝐷 で𝐷 = 𝑉とした enrich化されたfunctor 𝐶 → 𝑉を考えます。

「Cを、closed commutative monoidal preorder V上でenrich化されたカテゴリーとする。enrich化されたcopresheaf 𝑉^𝐶は、Cのすべてのオブジェクト𝑥,𝑦について
　　𝐶(𝑥, 𝑦) ≤ 𝑉(𝑓𝑥, 𝑓𝑦)
を満たす関数で定義される。」

この条件式は、先に見たenriched functor の条件式で、𝐷 = 𝑉としたものに他なりません。

通常のカテゴリーでは、カテゴリー間の写像が functor category を定義するように、
enrich化されたカテゴリーでは、enrich化されたカテゴリー間の写像が、enrich化されたfunctor category を定義します。



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https://youtu.be/izFbqt5mHpM?list=PLQIrJ0f9gMcPmrJ3B0LEXJ_SHPP-ak_hw

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