$A(n) = Klog(n)$ からエントロピーの式を導く

シャノンは、先のセッションで証明した $A(n) = Klog(n)$ の式から、エントロピーの式を導き出します。シャノンの推論を追いかけてみましょう。

n 個の自然数 $n_i$ が与えられた時、$\sum n_i = N$ とすれば、$p_i = n_i / N$ として、ある確率分布を得ることができます。この確率分布のエントロピーは、$H( p_1, p_2, \dots ,  p_n)$ で表すことができます。

まず、このn個の可能性から i番目を選んで（その確率は、$p_i $）で、続いて、等確率 $1/n_i $の選択を行うことにしましょう。これがルールです。

このルールのもとでは、ある二つの連続した選択が行われる確率は、$p_i \times 1/n_i = n_i/N \times n_i =1/N $になります。どの i を選んでも、その後に等確率 $1/n_i$ の選択が続くのなら、二つの選択が連続してなされる確率は、等しく、$1/N$ になります。

このルールのもとでは、二番目の等確率 $1/n_i $の選択には、$n_i $ 個の可能性があります。ですから、二つの選択が連続してなされる場合の数は、$n_1 + n_2 + ... + n_n = \sum n_i = N$ となります。

このことは、N個の可能性から等確率の$1/N$を選ぶ選択は、n個から確率$p_i $で一つを選ぶ選択と、$n_i$ 個から等確率の$1/n_i $を選ぶ選択に分解できることを示しています。

「条件 (3)」を使えば、このことは、次の式が成り立つことを意味します。
$$A(N) = H( p_1, p_2, \dots ,  p_n) + p_1 A(n_1) + p_2 A(n_2) + \dots + p_n A(n_n)$$

ここで、前回のセッションで証明した $A(n) = Klog(n) $を使うと、次の式が得られます。
$$Klog(N) = H( p_1, p_2, \dots,  p_n) + p_1 Klog(n_1) + p_2 Klog(n_2) + \dots + p_n Klog(n_n)$$

これから、

$H( p_1, p_2, \dots ,  p_n)= Klog(N) - (p_1 Klog(n_1) + p_2 Klog(n_2) + \dots + p_n Klog(n_n))$
$　= (p_1 +  p_2 + \dots +  p_n) Klog(N)-(p_1 Klog(n_1) + p_2 Klog(n_2) + \dots +  p_n Klog(n_n))$
$　= (p_1 Klog(N) + p_2 Klog(N) +  \dots + p_n Klog(N) -  (p_1 Klog(n_1) + p_2 Klog(n_2) + \dots + p_n Klog(n_n))$
$　= p_1 K log(N/n_1) + p_2 K log(N/n_2) + \dots + p_n Klog(N/n_n)$
$　= K(p_1 log(1/p_1) + p_2 log(1/p_2) + \dots + p_n log(1/p_n))$
$$H( p_1, p_2, \dots ,  p_n) = -K \sum p_i log (p_i) $$




　

コメント

コメントを投稿

このブログの人気の投稿

マルレク・ネット「エントロピーと情報理論」公開しました。

イメージ
前回の秋葉原でのマルレクのネット配信が始まりました。 https://crash.academy/class/156 タイトルを「エントロピーと情報理論 -- 量子情報理論入門 -- 」に変更しました。最初の30分は、無料です。 次回のマルレク「量子コンピュータとは何か？」の導入となるコンテンツです。 講演資料は、こちらです。 https://goo.gl/CKayix  あわせて、ご利用ください。 　　　--------------------------------- 　　　マルレク・ネット　ビデオ・コンテンツ　 　　　--------------------------------- 　「エントロピーと情報理論」 　　　　 https://crash.academy/class/156 　「人工知能の歴史を振り返る」 　　　　 https://crash.academy/class/139/ 　「ニューラル・コンピューターとは何か？」 　　　　 https://crash.academy/class/101/ 　「Google ニューラル機械翻訳」 　　　　 https://crash.academy/class/76/ 　「RNNとLSTMの基礎」 　　　　 https://crash.academy/class/66/
続きを読む

初めにことばありき

旧約の「創世記」の「光よあれ」は、ビッグバンを思わせて、物理学者はちょっと萌えるかもしれないのだが、新約の「ヨハネによる福音書」には、言語学者が喜びそうなフレーズがある。 「初めに言があった。言は神と共にあった。言は神であった。」 僕が知っていたのは、「はじめにことばありき」という訳だったのだが。この口語訳での「言」は、英訳だとこうなっている。 "In the beginning was the Word, and the Word was with God, and the Word was God." 「言」= "Word" である。はじめにあったのは、Wordであって、Language ではない。だから、新しい口語訳では、普段、あまり馴染みない「言」という訳語を使ったのかも。「初めに語があった」では、なんかしまらないんだろうな。（僕は、「はじめにことばありき」というフレーズの方が好きだ。） ちなみに、「ヨハネによる福音書」は、英語では、"Gospel of John" という。「ジョンのゴスペル」である。でも、そう日本語に訳してしまうと、ジョン・レノンがバラードではなく、ゴスペルを歌っているようで、まずいんだろうな。 「ことば」・「言」・"Word" と訳されている、元々の言葉を調べてみると面白い。 キリスト教のオーソドックスな原典であるラテン語訳聖書では、この部分は、こうなる。 "In principio erat Verbum, et Verbum erat apud Deum, et Deus erat Verbum" 「イン・プリンキピオー・エラト・ウェルブム」 英訳 Word のラテン語の原語は、Verbum である。この単語、英語に直訳すれば、Verbである。「初めに、動詞があった。」　言語学の「従属性文法 (Dependency Grammar) 」理論の人たち、喜びそう。 もっとも、英語のVerbは、元々は、動詞というより広く言葉全体をさしてたらしい。そのことは、「ノンバーバル・コミュニケーション (Non-Verbal Communication) 」というのが、動詞を使わないコミュニケーション...
続きを読む

宇宙の終わりと黒色矮星

イメージ
【宇宙の終わりと黒色矮星】 図のようなストーリーで、「宇宙の終わりとエントロピー」という投稿を準備していたのだが、いろいろ雑念が湧いて気がすすまなくなる。その理由は別稿で。 この図は、「閉じられた部屋でのガスの拡散」というわかりやすいモデルで理解されるエントロピーの増大の法則が、あるフェーズから、宇宙規模でみれば、「全ての物質のブラックホールへの吸収・収斂」として現れると言うことを主張している。最初、ペンローズのこの話を読んだときには、目からウロコだった。 このストーリーにはもっと先がある。最近のシミュレーションでは、指数関数的に膨張する宇宙では、巨大なブラックホールに捕捉されるのは、宇宙全体の物質の10%程度だという。恒星起源のブラックホールは 10^67 年で、銀河系中心の巨大ブラックホールも 10^99年で、ホーキング放射で「蒸発」し姿を消す。 ブラックホールに捕捉されなかった宇宙の残りの90%の物質は、元それが属した銀河系から孤立したまま星の一生の進化を続ける。太陽の1.2倍程度の質量を持つ星は「白色矮星」になるのだが、「白色矮星」は 10^17年で「黒色矮星」に変わる。 「黒色矮星」は、現代の「宇宙の終末論」では、もっとも注目されている天体なのだが、それはまだ観測されていないと言う。というのも、この天体は光を出さないからだ。「黒色矮星」の中心は、最も安定な原子である鉄の「結晶」でできていて、温度は絶対零度近くに冷却されている。 「黒色矮星」は、とても長生きする天体である。陽子崩壊がおきるなら、黒色矮星の寿命は 10^32年程度だが、もし陽子が安定しているとすれば、太陽の 1.24倍程度の質量を持つ「黒色矮星」は、10^1600年後に突然崩壊して超新星爆発を起こす。もっと軽い、太陽の1.16倍程度の質量を持つ「黒色矮星」は、10^32000 年後（！）に超新星爆発を起こす。 このシナリオによれば、宇宙は、とてつもなく長い長い退屈な時間をかけて、その死を迎える。「黒色矮星」の超新星爆発は、宇宙の死を飾る最後の打ち上げ花火である。その後には、宇宙には何も起こらない。 この記事は、ジョン・バエズの "Black Dwarf Supernovae" を基にしたものだ。https://johncarlosbaez.wordpress.com/202...
続きを読む