レンスターの「多様性」の定義を読む

【 レンスターの「多様性」の定義を読む 】

このセッションでは、レンスターの「生物多様性」の定義の式を、少し詳しくみてみようと思います。

といっても、レンスターの次「多様性」の定義は複雑ですね。
どこから見ていけばいいのでしょう？

【 三つのパラメータ pとZとq 】

この式は、n 種の種が存在する環境の「生物多様性」を表すものです。この式には三つのパラメータ pとZとqが登場します。
 
pは、n 種の種が、個体数で見てどのような割合で存在しているかを表す「確率分布」です。

環境中の n 種の種を{1, . . . , 𝑛}と自然数で表すと、確率分布 p は次のように表せます。

　　p = ( p1, p2, ... , pn ) 
　　pi ＞= 0, 
　　p1 + p2 + ... + pn =1

確率分布 pが与えられた時、Shannon エントロピー Hは、次の式で定義されます。（テキストでは、式がうまく表現できないことがあるので、pdf あるいは　ビデオをご覧ください。）

　　H = Σ pi log(1/pi )

Shannonのエントロピーには、確率分布 p 以外の余分なパラメータはありません。どんな確率分布 pも、一意にShannonエントロピーを決定します。

【 Tsallis エントロピー 𝑆_𝑞 −− パラメータ qによるShannonエントロピーの拡大 】

Shannonエントロピーの定義中の log⁡ をq-対数 ln_𝑞⁡ (qを底にする自然対数)に置き換えたものを、 Tsallis エントロピー とよび、𝑺_𝒒と表します。

　　S_q = Σ pi ln_q (1/pi )

Tsallis エントロピーでは、確率分布 p に加えて、q が新しいパラメータとして追加されています。パラメータが一つ増えたことを除けば、両者の定義の形は、よく似ています。

【 q-パラメータの導入による エントロピー概念の拡大 】

レンスターは、このエントロピーはTsallisが発見者というより、いろんな分野で何度も繰り返し発見・再発見されているので、 ‘q-logarithmic entropy’　(q-対数エントロピー)と呼ぶのがいいのではという提案をしています。

 レンスターの多様性の定義式の中に現れる q-パラメーターは、このq-対数エントロピー（Tsallis エントロピー）のqと同じ仲間だと思っていいと思います。

科学の様々な分野で行われたエントロピー概念の拡大の試みの中で、その手段の一つとして、新しいパラメータ q 導入の試みがあったのだと思います。それらは、最終的には、レンスターの「多様性」の定義式に合流していきます。

【 再び、レンスターの多様性の定義について パラメータ qの寄与 】

ここまで、レンスターの多様性の定義の中に現れる 確率分布 p と q-パラメータの話をしてきました。

ただ、今回のセッションで話したのは、多様性の定義にエントロピー概念を拡大して利用しようとした試みの一部を紹介したにすぎません。

レンスターの多様性の定義のqの値に、0, 1, 2, ∞ を入れたものが、どのようなものになるかについて、レンスターは次のように述べています。

・ q = 0 の場合。 種多様性（存在する種の数）
・ q = 1 の場合。シャノン・エントロピーの指数関数（Hill数） 
・ q = 2 の場合。ジニ・シンプソン指数（無作為に選んだ2個体が同一種である確率の逆数）
・ q = ∞ の場合。バーガー・パーカー指数（最優占種の優占度を測る指標）

要するに、レンスターの式は、これまで提案されたさまざまな「多様性の指標」を、qを変化させることで、一つの式でカバーできるのです。
 
レンスターは、別の論文で、これらをテーブルにまとめています。

【  重要なのは、「類似性行列」 】

ここで紹介した論文のタイトル “Measuring diversity: the importance of species similarity” が示しているように、多様性を測る上で重要なのは、「種の類似性」なのだというのが、レンスターの重要な貢献です。

レンスターの式で重要なのは、「種の類似せ」を表現する「類似性行列」 Z だということです。

それについては、次回のセッションで触れたいと思います。

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今回のセッションでは、 "Rényi"  エントロピー　H_q とTsallis エントロピー 𝑆_𝑞  の計算については、ほとんど省略しました。これについては、以前のマルレク「エントロピー論とカテゴリー論」で詳しい計算を紹介しています。

該当部分は、次の二つの資料です。
pdfからでもYouTubeからでもアクセスできます。ご利用ください。


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blog 「レンスターの「多様性」の定義を読む 」
https://maruyama097.blogspot.com/2025/09/blog-post_19.html

スライド「レンスターの「多様性」の定義を読む 」のpdf ファイル
https://drive.google.com/file/d/1_bpPZLJ_9Vh-xib3wYEs9zmNxlPol77i/view?usp=sharing

セミナーのまとめページ

セミナーに向けたショートムービーの再生リスト

ショートムービー「レンスターの「多様性」の定義を読む」
https://youtu.be/xm9QYSy4VQM?list=PLQIrJ0f9gMcPmPimhgAIUUh98fyLSM6iB

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