マルレク「マグニチュードとは何か」へのお誘い

【 マルレク「マグニチュードとは何か」へのお誘い 】

今週末の9/27開催のマルレクへのお誘いです。

セミナーの申し込みページ作成しました。お申し込みお待ちしています。
https://magnitude1.peatix.com/view

今月のマルレクは、「マグニチュードとは何か」というテーマで開催します。

「マグニチュード」  -- 地震の規模の大きさを示す尺度としては、日常的に使われている言葉です。今回は、地震には関係のない話です。ただ、「マグニチュード」が「大きさ」を表すという点では、話はつながっています。

今回のセミナーのテーマの「マグニチュード」論というのは、「大きさ」について考える新しい数学理論です。

【 「大きさ」を対象にした数学 】

私たちの周りには、「大きさ」を持つものが、たくさん存在しています。マグニチュード論が対象として考えようとしているのは、こうしたものの「大きさ」です。

身長・体重・子供の数・収入・コロナワクチンを打った回数の「大きさ」の意味は明確です。一方、「幸せ」や「美しさ」や「正しさ」の「大きさ」は、数字で表現することはできず、比喩的にしか語れません。

数学的な「大きさ」とは、まずは、「数えることや測ることで与えられる数字で表現される量」と考えていいと思います。

ただ、これだけでは数学の対象としては当たり前すぎて、あまり深みのある数学が生まれそうにはなさそうです。

【 5分で振り返る「大きさ」の数学史 】

ただ、それは量や空間を扱う数学が多様に発展している、現代の数学観を無意識のうち反映しているのかもしれません。

数学の歴史を振り返ってみると、その飛躍の節々で、「大きさ」についての意識が変化・発展してきていることがわかります。

　・数学的認識が人類に生まれた40,00年ほど前は、その主要な関心は、共同体の人口や耕地の面積など、具体的に数え測ることができる大きさを持つものでした。

　・紀元前3世紀のユークリッドは、幾何学的な点を「大きさを持たない」ものとして定義しました。

　・数としてのゼロの導入は、4世紀のインドだと言われています。だいぶ後のことです。

　・17世紀後半のニュートンやライプニッツの微積分学は、「無限に小さな大きさ」を考えることで可能になりました。

　・18世紀のオイラーは、形や大きさによらず「変わらない大きさ」が存在することを発見します。（「オイラーの標数」）

　・19世紀のエミー・ネーターは、「変わらない大きさ」=「不変量」（物理学での「保存量」）が「対称性」と結びついていることを発見します。

　・19世紀のカントールは、無限に数え続ける方法を考え、それとは独立に、個数の概念を無限のものにまで拡大することに成功しました。同時に、この無限の大きさの階層が、無限に続くことを証明しました。

【 新しい「大きさ」が生まれるということ 】

重要なことは、歴史の中で、新しい「大きさ」の概念が生まれることがあるということです。それは、社会の変化、特に新しい技術の登場と強く結びついています。

18世紀の産業革命を牽引した技術に蒸気機関があります。蒸気機関の熱効率の向上を目指す技術的探求は、19世紀、熱力学という新しい科学と「エントロピー」という大きさの概念を新しく生み出しました。

20世紀の情報通信技術の飛躍的発展は、情報科学という新しい科学を成立させ、「エントロピー」という新しい大きさを発見しました。

【 二つの「エントロピー」概念とそれをつなぐもの 】

この二つのエントロピー概念は、名前は同じですが、その生誕の場所も誕生の起源も全く異なるものです。

20世紀のエントロピーの発見者シャノンに、「エントロピー」という名前の採用を勧めたのは、フォン・ノイマンだと言われています。ノイマンは、二つの「大きさ」が同じ数式を満たすことに気づいていました。

新しい「大きさ」が生まれることがあること、また、新しい「大きさ」の数学的研究が、予想外の広がりを見せることがあることを、エントロピーの例は示しています。

エントロピーと情報量という概念がうまれたことで、我々は我々が持つ情報の「大きさ」について話すことができるようになりました。

注意して欲しいのは、bit という単位は、我々が普通に考える情報の単位ではなく、情報が失われていくことの尺度であるエントロピーの単位に他ならないということです。

ただ大丈夫だと思います。我々は、新しい情報を生み出し、それを維持・記憶するためには、外部からのエネルギーが必要であることを、経験的に知っています。

二つのエントロピー論の結びつきは、現代の情報化の社会で、理論的にも実践的にももっとも成功した「大きさ」の理論の一つです。

【 マグニチュードは、生成AIと大規模言語モデルの時代に
　 発見された新しい「大きさ」の概念 である 】

今回のセミナーのテーマである「マグニチュード」についても、同じことが言えると僕は考えています。

それは、蒸気機関やインターネットの時代ではなく、生成AIと大規模言語モデルの時代に発見された新しい「大きさ」の概念です。時代の大きな変革期には新しい「大きさ」が登場するのかもしれません。

それは、なぜ、生成AIと大規模言語モデルが、あれほどまで見事に言葉の意味を理解できるのかという問題に結びついています。現在ではまだ完全には解明されていないこの問題の解決に、マグニチュード論が貢献する可能性があるのです。 

【 今回のセミナーと次回のセミナーの位置付け 】

ただ、今回のセミナーは、直接、マグニチュード論と大規模言語モデルの関係を議論したものではありません。

丸山は、「LLMの言語の意味理解能力の獲得と驚異的な言語運用能力の実現という現実の進行を目の当たりにして、それを説明しようとする問題意識と理論が次々に生まれています。 ...この夏以降しばらくの間、「LLMの理論モデルの新しい展開」という共通テーマで、複数のセミナーを連続して開催しようと思っています。」

今回と次回のセミナーは、その第一ラウンドで、ターゲットにしようと思っているのは、僕が注目している Tai-Danae Bradleyの次の論文です。

今回のセミナーは、この論文を読むための準備としての意味を持っています。

The Magnitude of Categories of Texts Enriched by Language Models

Bradleyは、現在のLLMの働きを反映しているテキストの確率論的モデルに、再び enriched categoryの手法を適用して、新しいMagnitude概念をベースとした意味の距離空間モデルを構築し、そこが意味解釈の舞台として望ましい性質を持っていることを示しました。

【 今回のセミナーで扱うコンテンツ 】

今回のセミナー「マグニチュードとは何か」で扱うコンテンツは、次のものです。基本的には、現代の数学的マグニチュード論に先行した議論を取り上げています。その分、わかりやすいものになっているとおもいます。

　● カントールの「無限の大きさ」
　● オイラーの「変わらぬ大きさ」の発見
　● レンスターの「生物多様性の大きさ」

マグニチュード論については、触れていないことがまだまだ残されています。それらについては、次回のセミナーで取り上げます。

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セミナー申し込みページ
https://magnitude1.peatix.com/view

blog 「マルレク「マグニチュードとは何か」へのお誘い 」
https://maruyama097.blogspot.com/2025/09/blog-post_22.html

スライド「マルレク「マグニチュードとは何か」へのお誘い 」のpdf ファイル
https://drive.google.com/file/d/1_m5U8TIb0vzgM7QzII_1rJIa7XIgLoMm/view?usp=sharing

セミナーのまとめページ

セミナーに向けたショートムービーの再生リスト

ショートムービー「マルレク「マグニチュードとは何か」へのお誘い」
https://youtu.be/1EB2D5ECPjY?list=PLQIrJ0f9gMcPmPimhgAIUUh98fyLSM6iB

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