「形」を数える – オイラーの「標数」

【 「形」を数える – オイラーの「標数」 】

このセッションでは、図形の「大きさ」に関係した量として、「オイラーの標数(Euler characteristic)」を紹介しようと思います。

【 3次元の多面体の頂点と辺と面の数 】

オイラーは、3次元の空間上の図形を構成する基本的な要素として、「点」と「線」と「面」に注目します。

彼は、点（頂点）と線（辺）と面から構成される3次元の(凸な)多面体について、頂点の数を v 、辺の数を e 、面の数を f とすると、 次の関係が成り立つことに気づきました。

　　𝑣 − 𝑒 + 𝑓 = 2

この 𝑣 − 𝑒 + 𝑓 = 2 を(凸)多面体の「オイラー標数」と言います。

スライドでは、「プラトンの正多面体」について、この関係が成り立つこと確かめています。ご自身でも、確認ください。

【 凸集合(convex set) 】

物体が凸（とつ、英: convex）であるとは、その物体に含まれる任意の二点に対し、それら二点を結ぶ線分上の任意の点がまたその物体に含まれることを言います。

先に見た、𝑣 − 𝑒 + 𝑓 = 2 を満たす多面体は、全て、凸集合です。

【 convex hull (凸包) 】

convex hull は、与えられた集合を含む最小の凸集合です。

X がユークリッド平面内の有界な点集合のとき、そのconvex hullは直観的には X を輪ゴムで囲んだときに輪ゴムが作る図形と考えていいです。

【 𝑣 − 𝑒 + 𝑓 = 2 とサッカーボール 】

サッカーボールの表面は、5角形と6角形で構成されています。5角形の数をP、6角形の数をHとすると、次の式が成り立ちます。

　　𝑓 = 𝑃 + 𝐻
　　𝑒 = ( 5𝑃 + 6𝐻 )/2
　　𝑣 = ( 5𝑃 + 6𝐻 )/3

この式を、オイラーの式 𝑣 − 𝑒 + 𝑓 = 2  に代入すると、Pの項が消えて、H = 12 がわかります。

どんなサッカーボールにも、6角形は必ず、12個あります。

【 オイラーの標数 𝑣 − 𝑒 + 𝑓 は変わらない「大きさ」 】

オイラーの標数 𝑣 − 𝑒 + 𝑓 は、どんな「大きさ」なのかを考えてみましょう。確かにそれはある自然数ですので「大きさ」を持ちます。

ただ、先に見たように、それは、凸な多面体の種類やその多面体の実際の大きさが変わっても、オイラーの標数 𝑣 − 𝑒 + 𝑓の「大きさ」は変化しません。

それは、変わらない「大きさ」なのです。
（そういう量を「位相不変量」と言います。）  

【 オイラーは、何を数えたのか？ 】

それでは、オイラーは、どのようにして、多面体に対して「変わらない大きさ」を見つけたのでしょうか？

それは、多面体を構成する「同じ形」の要素の数を数えることによってです。

彼は、「同じ形」を持つものとして、多面体の「頂点」の数vと、「辺」の数eと、「面」の数 f を数えました。

【 「同じ形」とは？ 】

それらが「同じ形」をしているとは、どういうことでしょう？

・「頂点」については、それは「点」ですので、どれも同じ形です。
・「辺」については、長さや向きを無視すれば、それは同じ「線分」とみなせます。
・「面」については、「頂点」や「辺」より複雑です。先の例でも、「面」は三角形だったり四角形だった五角形だったりしました。

まあ、 当面、「面」は二次元の図形で「平らなもの」という直感で進んでいいと思います。

−−−--−−−−−−−−−-------−−−−−

blog 「「形」を数える – オイラーの「標数」 」
https://maruyama097.blogspot.com/2025/09/blog-post_06.html

セミナーのまとめページ

スライド「「形」を数える – オイラーの「標数」 」のpdf ファイル
https://drive.google.com/file/d/1Z6TaOoiFEv6j-hF0cRJ5VcxgHgv2ySyr/view?usp=sharing

ショートムービー「「形」を数える – オイラーの「標数」 」
https://youtu.be/Ve_UBdrPxhY?list=PLQIrJ0f9gMcPmPimhgAIUUh98fyLSM6iB

コメント

コメントを投稿

このブログの人気の投稿

初めにことばありき

旧約の「創世記」の「光よあれ」は、ビッグバンを思わせて、物理学者はちょっと萌えるかもしれないのだが、新約の「ヨハネによる福音書」には、言語学者が喜びそうなフレーズがある。 「初めに言があった。言は神と共にあった。言は神であった。」 僕が知っていたのは、「はじめにことばありき」という訳だったのだが。この口語訳での「言」は、英訳だとこうなっている。 "In the beginning was the Word, and the Word was with God, and the Word was God." 「言」= "Word" である。はじめにあったのは、Wordであって、Language ではない。だから、新しい口語訳では、普段、あまり馴染みない「言」という訳語を使ったのかも。「初めに語があった」では、なんかしまらないんだろうな。（僕は、「はじめにことばありき」というフレーズの方が好きだ。） ちなみに、「ヨハネによる福音書」は、英語では、"Gospel of John" という。「ジョンのゴスペル」である。でも、そう日本語に訳してしまうと、ジョン・レノンがバラードではなく、ゴスペルを歌っているようで、まずいんだろうな。 「ことば」・「言」・"Word" と訳されている、元々の言葉を調べてみると面白い。 キリスト教のオーソドックスな原典であるラテン語訳聖書では、この部分は、こうなる。 "In principio erat Verbum, et Verbum erat apud Deum, et Deus erat Verbum" 「イン・プリンキピオー・エラト・ウェルブム」 英訳 Word のラテン語の原語は、Verbum である。この単語、英語に直訳すれば、Verbである。「初めに、動詞があった。」　言語学の「従属性文法 (Dependency Grammar) 」理論の人たち、喜びそう。 もっとも、英語のVerbは、元々は、動詞というより広く言葉全体をさしてたらしい。そのことは、「ノンバーバル・コミュニケーション (Non-Verbal Communication) 」というのが、動詞を使わないコミュニケーション...
続きを読む

密度行列とは何か？

これまで、量子の状態をベクトルで表現してきました。例えば、量子ビットの状態は、状態ベクトルで表せば、|qubit> = a|0>+b|1> と、二つの状態ベクトルの「重ね合わせ」（ベクトルの和です）で表現されました。 それに対して、密度行列は、量子のシステムの状態を行列で表現したものです。では、どの　ようにしてベクトルで表される量子の状態を、行列で表すのでしょう？ 次のように考えます。ある量子システムで、状態|ψ_i>である確率をp_iとしましょう。この時、確率p_iを成分とする行列を考えます。 |qubit> = a|0>+b|1> の場合なら、|0>である確率p_0は |a|^2で、|1>である確率p_1は |b|^2になりますので、p_0とp_1、すなわち、|a|^2と|b|^2を成分とする行列を考えることにします。 ここでは、ベクトルの外積が行列になることを利用します。それでは、外積で作られる行列のどこにこの成分を割り当てるか考えましょう。うまい方法があります。 外積 |0><0|は、0行0列目の成分だけが1で、残りの成分は全て0の行列です。同様に、外積|1><1|は、1行1列目の成分だけが1で、残りの成分は全て0の行列です。 この時、p_0|0><0| + p_1|1><1|という行列として密度行列を定義します。0行0列目の成分がp_0で、1行1列目の成分がp_1の行列です。 　● 状態ベクトルを使った表示 　　　|qubit> = a|0>+b|1> 　● 密度行列を使った表示 　　　ρ = p_0|0><0| + p_1|1><1| = |a|^2|0><0| + |b|^2|1><1| 状態ベクトルを使った表示に出てくる a, bは複素数ですが、密度行列を使った表示に出てくる p_0, p_1 は、確率ですので 0と1の間に値を持つ実数です。これは、二つの表示スタイルの大きな違いです。 密度行列を作るのに利用した、確率 p_iと状態|ψ_i>のペア { p_i, |ψ_i> }の集まりを、「pureな状態のアンサンブル」といいます。その意味は、この量子システムで、状態|ψ_...
続きを読む

「複雑性理論」は「複雑系」の議論とは別のものです

イメージ
「複雑性理論」を、以前に少し流行したことのある「複雑系」の議論と同じものだろうと誤解されていることに、最近気づきました。当然ありうる誤解なのに、迂闊でした。 確かに、対象が「複雑さ」だと思えば、一部分は重なるところもあるのですが、「複雑性理論」と「複雑系」の議論は、まったく違うものです。 現在の「複雑性理論」の歴史をたどると、二つの起源にたどり着きます。 一つは、20世紀初頭からの数学の基礎付けをめぐる探求です。ヒルベルトの「有限の立場」にはじまり、ゲーデルの「不完全性定理」が衝撃を与え、「チャーチ＝チューリングの提言」で「実効的な」「計算可能性」概念が、いったん定式化されるといった一連の流れです。 もう一つは、20世紀の中盤以降、コンピュータ技術が爆発的に発達する中で生まれた「計算量理論」「計算複雑性理論」です。そこでの最大の気づきは、「実際に」コンピュータで計算できるものを考えると、「多項式」で表現される計算時間と、「指数関数」で表現される計算時間とには、「質的」な違いがあるのではというものでした。（この計算複雑性理論の中心的な問題である「P=NP？問題」は、今に至るも解決されていません。） 二つの流れは、別々のものでした。 前者は、人間の数学的認識の原理的「限界」に関わるもので、後者はコンピュータによる計算の具体的「限界」に関わるものです。 ただ、人工知能をめぐる基本的な問題が、最終的には、人間の知能の機械による実現は可能かということであるなら、両者は結びつきます。なぜなら、人工知能は人間の数学的認識をも実現するものでなければならないし、それはまた、実際のコンピュータ上で実装されなければならないからです。 人間の知能の本質を、「計算」として捉える立場を、「計算主義」と言います。それは、現在のディープラーニング技術が、よって立つ、「コネクショニズム」とは異なる立場です。僕は、人工知能論では、この「計算主義」の立場に立っています。それは、コネクショニズムは、数学的認識に関しては、無力だと考えているからです。 現代の複雑性理論には、第三の起源があります。 理論史的には、それは、ファインマンによる「量子コンピュータ」の提唱にはじまるものです。 ただ、その背景には、とても重大な認識の発展があります。それは、全ての情報過程が...
続きを読む