量子論なしで、がんばってみたけれど ...

【 量子論なしで、がんばってみたけれど ... 】

この間、代表的な「量子キー配布 (QKD: Quantum Key Distribution ) 」のプロトコルであるBB84をコインとコイントスを用いてシミレートするモデルを作って紹介してきました。

前回見たように、BB84の中核である「量子キー配布」のプロトコルの説明も、量子論なしでなんとかできたと思っています。

お気づきの方も多いと思いますが、こうしたコインとコイントスによるBB84のモデルが成り立つ背景を簡単に説明したいと思います。ネタばらしです。

一般に量子ビット qubitの状態 |qubit> は、二つのベクトル |0> と|1>の重ね合わせ（線型結合です）のベクトルとして表現されます。

　|qubit> = a|0> + b|1> 
　　( ただし、aとb は全く自由に選べるわけではなく、
　　a^2 + b^2 = 1 という制約があります。)

問題は、我々が量子ビット qubit を「観測」すると、ベクトル |0> と |1> の重ね合わせの状態が破れて, |0> または |1>の状態しか観測できないことです。量子ビットは、必ず二つのベクトルの「重ね合わせ」の状態で存在しているのですが、その「重ね合わせ」の状態をそのままの形では我々は「観測」できないのです。

「観測」した途端、|qubit> = a|0> + b|1> の状態は、|0> 単独 あるいは |1> 単独 の状態に変わってしまうのです。ここでの 「|0> 単独」 あるいは 「|1> 単独」の状態は、普通のビット 0 あるいは、普通のビット 1 と考えて構いません。

要するに、重ね合わせの状態にある量子ビットは、観測すると普通のビット 0か1に変わってしまうのです！

ただ、大事な法則を物理学者たちは、実験を通じて経験的に発見しました。それは次のような法則です。

　|qubit> = a|0> + b|1> を観測して、
　|0>（普通のビット 0 です）を観測する確率は、|a|^2で与えられ、
　|1>（普通のビット 1 です）を観測する確率は、|b|^2で与えられる。

|0> 単独の状態は、先の式で a =1, b = 0 の状態です。ですので、|0> 単独の状態を観測して|0>の状態を観測する確率は、|a|^2 = |1|^2 = 1 。すなわち 100%の確率で|0> 単独の状態は、|0> として観測されることになります。

同様に、|1> 単独の状態は、先の式で a =0, b = 1 の状態です。ですので、|1> 単独の状態を観測して|1>の状態を観測する確率は、|b|^2 = |1|^2 = 1 。すなわち 100%の確率で|1> 単独の状態は、|1> として観測されることになります。

先に、「|0> 単独」 あるいは 「|1> 単独」の状態は、普通のビット 0 あるいは、普通のビット 1 と考えて構いませんといったのですが、これは、普通のビット 0 あるいは、普通のビット 1 は、どう観測しても、何回観測しても、ビット 0 あるいは ビット 1 のままにとどまると言うことに対応しています。その意味では、「普通のビット」と言うのは、特別なタイプの「量子ビット」なのです。

今回のモデルで利用されているのは、|+> と呼ばれる qubitです。

　|+> = 1/√2 |0> + 1/√2 |1>  

先の式では a = b = 1/√2 という重ね合わせのqubit です。

この |+> は面白い性質を持っています。この |+> を観測して ビット 0 を得る確率は、|a|^2 = |1/√2 |^2 = 1/2 です。この |+> を観測して ビット 1 を得る確率は、|b|^2 = |1/√2 |^2 = 1/2 です。ですので、ビット 0 を得る確率と ビット 1 を得る確率は等しく 1/2 です。

これは、コインを投げて、表が出るか裏が出るかの確率が等しく 1/2 であることと同じです。 |+> のqubitを「量子コイン」と呼ぶことがあります。

実は、|+> の他に、もう一つ「量子コイン」と呼ばれる qubit があります。これを |−> で表します。

　|−> = 1/√2 |0> − 1/√2 |1>  

a = 1/√2, b = −1/√2 という重ねあわせのqubit です。

この |−> を観測して、ビット 0 を得る確率は、|a|^2 = |1/√2 |^2 = 1/2 。ビット 1 を得る確率は、|b|^2 = |−1/√2 |^2 = 1/2 です。|+> と同様に、ビット 0 を得る確率と ビット 1 を得る確率は等しく 1/2 です。

今回のモデルで、利用された4種類のコインは、次の qubit に対応しています。

　　　コイン　　　　　qubit
  -----------------------------------------
　黒0 (表 0, 裏 0)  <-->  |0> 
　白1 (表 1, 裏 1)  <-->  |1> 
　灰0 (表 0, 裏 1)  <-->  |+>
　灰1 (表 1, 裏 0)  <-->  |−>

そして「観測」は「コイントス」に対応しています。

重要なことは、観測のたびに等しい確率で、0 または 1 を返す「量子コイン」の振る舞いは、コイントスのたびに同じ確率で 表 または 裏を示す「物理コイン」の振る舞いと、基本的には同じだと言うことです。

今回のモデルが、量子論に直接触れなくても、上述のコインとコイントスで、BB84プロトコルの基本部分をシミレートできたのは、そのおかげです。

【 このモデルには弱点があります。】

ただ、量子論なしで、がんばってみたのですが、残念ながら、このモデルには、弱点があります。

AliceからBobにコインを渡すのですが、この箇所で攻撃者Eveがコインの数字を盗み読む可能性があります。これでAliceが送り出したビットをEveは知ることになります。

また、Eveはコインの色から、Aliceが使ったエンコード方式も知ることができます。Bobのデコード方式を知っていれば、Eveは共有キーをピックアップすることが可能になります。

本当のBB84には、こうした「中間者攻撃」に対する脆弱性は、存在しません。

【「量子キー配布 -- BB84 コインからqubitへ」を公開しました 】

https://youtu.be/oqy52TNV9Wo?list=PLQIrJ0f9gMcMOZpuJsAE6UvyX4g0_TYnM

動画のpdfは、こちらからアクセスできます。https://drive.google.com/file/d/15bnZtBInyDtHqekvzdMOfZh4HhHioBUF/view?usp=sharing

このシリーズのまとめページはこちらです。
https://www.marulabo.net/docs/q-net/

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