図形の持つ意味

【 図形の持つ意味 】

一つの要素しか持たない集合 1 から集合 X への関数 xで Xの要素 xが表現できるように、オブジェクト 1 からオブジェクト X への stochastic map p で X上の確率分布を表現できます。図形では、1 から Xへ 波線矢印を引くだけで、X の確率分布が表現できます。

1 と X と Y を頂点とする三角形を考えます。頂点に 1 を、左に X 、右に Yを置きます。1 から Xと Yに波線矢印を引き、XからYに矢印を引きます。

今回のセッションは、この図形がどういう意味を持っているのかという話です。　

1 から Xへ 波線矢印は Xの確率分布、1 から Yへ 波線矢印は Yの確率分布ですので、底辺のXからYへの矢印は 確率分布から確率分布への写像になります。

実は、この三角形が「可換」である時、このXからYへの写像は、XからYへの「測度を保存する関数」であることを示すことができます。ですので、どこかでこれと同じ三角形を見かけたら、その三角形の底辺の性質を、すぐに知ることができます。　


カテゴリー論が強力なのは、図形を見るだけで、その背後にある数学的関係を、別の推論に利用できるようになるからです。

カテゴリー論の図形は具体的で、それを用いた推論も直観的なのですが、その図形の意味するところは、実は、抽象的なものです。

今回、底辺のXからYへの矢印を、具体的に計算可能な形に書いてみました。やらずもがなと思いましたが、図形の抽象的な意味を、具体的な例で納得することは、必要なことだと感じています。　

YouTube :
https://youtu.be/ejSmTPNfBGA?list=PLQIrJ0f9gMcPcLv9Xw1F4OnNfO1d9lxxh

スライドのpdf版は、こちらからアクセスできます。https://drive.google.com/file/d/1cJ5f3hV5tzGh9AEEPSYxtUHyMAFWm6Ak/view?usp=sharing

このシリーズのまとめページは、「エントロピー論の現在・補遺」です。https://www.marulabo.net/docs/info-entropy5-addendum/


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