具体例でまわり道

【 具体例でまわり道 】

相対エントロピーのカテゴリー論的再構成で、活躍するのはFinStatというカテゴリーなのですが、このカテゴリーには、stochastiic  mapという、奇妙な写像が登場します。 

XからYへの関数は、Xの一つの要素にYの一つの要素を対応づけるのですが、stochastiic  map は、Xの一つの要素にY上の確率分布を対応づけます。Yの確率分布は、Yの一つの要素で表されるものではなく、Yの全ての要素にその要素の確率を割り当てたものの全体です。

こうした、普通の意味では「XからYへの関数」でないものも、カテゴリー論では、「XからYへの射 morphism」として捉えます。

今回は、この関数ではない（その意味ではカテゴリー論らしい）、stochastiic  mapを具体例を挙げてすこし丁寧に説明してみました。わかってしまえば簡単なことなのですが、是非、ゆっくり考えて貰えばと思います。

カテゴリー論らしいと言えば、今回、" x : 1 -> X " という形の射が登場します。 ここで 1 というのは、一つのオブジェクトしか持たないカテゴリーです。

一つの要素しか持たない集合 1 から、集合Xの関数を考えてみましょう。 Xがn個の要素を持つなら、1 から Xへの関数は、1の一つの要素をXのn個の要素に対応づける、n種類だけあることがわかります。これ以外の関数は存在しません。このn個の関数は、Xのn個の要素に、一対一に対応しています。

「xが集合Xの要素である」ことは、「xは 1 -> X の射である」と表現できるのです。

このことは、集合論をカテゴリー論で書き換えた Lawvere の「トポス理論」のもっとも基本的な出発点になりました。

" x : 1 -> X " という形の射は、次回のセッションでも活躍することになります。

YouTube :
https://youtu.be/DfzIJtBtSMw?list=PLQIrJ0f9gMcPcLv9Xw1F4OnNfO1d9lxxh

スライドのpdf版は、こちらからアクセスできます。https://drive.google.com/file/d/1c2l_RC8UwwBOYCWdSenf27i1ax8CCNxg/view?usp=sharing

このシリーズのまとめページは、「エントロピー論の現在・補遺」です。https://www.marulabo.net/docs/info-entropy5-addendum/


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