Tsallis エントロピーの式を導く

【 Tsallis エントロピーの式を導く 】

寒い日が続いて、風邪をひいてしまいました。

そういうわけで、今回は、カテゴリ〜論抜きでやさしい話です。Tsallis エントロピーの式を導いてみます。

風邪のせいか、証明間違えていました。修正版に差し替えました。

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修正版のスライドのpdf版は、こちらからアクセスできます。

このシリーズのまとめページは、「エントロピー論の現在・補遺」です。

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初めにことばありき

旧約の「創世記」の「光よあれ」は、ビッグバンを思わせて、物理学者はちょっと萌えるかもしれないのだが、新約の「ヨハネによる福音書」には、言語学者が喜びそうなフレーズがある。 「初めに言があった。言は神と共にあった。言は神であった。」 僕が知っていたのは、「はじめにことばありき」という訳だったのだが。この口語訳での「言」は、英訳だとこうなっている。 "In the beginning was the Word, and the Word was with God, and the Word was God." 「言」= "Word" である。はじめにあったのは、Wordであって、Language ではない。だから、新しい口語訳では、普段、あまり馴染みない「言」という訳語を使ったのかも。「初めに語があった」では、なんかしまらないんだろうな。（僕は、「はじめにことばありき」というフレーズの方が好きだ。） ちなみに、「ヨハネによる福音書」は、英語では、"Gospel of John" という。「ジョンのゴスペル」である。でも、そう日本語に訳してしまうと、ジョン・レノンがバラードではなく、ゴスペルを歌っているようで、まずいんだろうな。 「ことば」・「言」・"Word" と訳されている、元々の言葉を調べてみると面白い。 キリスト教のオーソドックスな原典であるラテン語訳聖書では、この部分は、こうなる。 "In principio erat Verbum, et Verbum erat apud Deum, et Deus erat Verbum" 「イン・プリンキピオー・エラト・ウェルブム」 英訳 Word のラテン語の原語は、Verbum である。この単語、英語に直訳すれば、Verbである。「初めに、動詞があった。」　言語学の「従属性文法 (Dependency Grammar) 」理論の人たち、喜びそう。 もっとも、英語のVerbは、元々は、動詞というより広く言葉全体をさしてたらしい。そのことは、「ノンバーバル・コミュニケーション (Non-Verbal Communication) 」というのが、動詞を使わないコミュニケーション...
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密度行列とは何か？

これまで、量子の状態をベクトルで表現してきました。例えば、量子ビットの状態は、状態ベクトルで表せば、|qubit> = a|0>+b|1> と、二つの状態ベクトルの「重ね合わせ」（ベクトルの和です）で表現されました。 それに対して、密度行列は、量子のシステムの状態を行列で表現したものです。では、どの　ようにしてベクトルで表される量子の状態を、行列で表すのでしょう？ 次のように考えます。ある量子システムで、状態|ψ_i>である確率をp_iとしましょう。この時、確率p_iを成分とする行列を考えます。 |qubit> = a|0>+b|1> の場合なら、|0>である確率p_0は |a|^2で、|1>である確率p_1は |b|^2になりますので、p_0とp_1、すなわち、|a|^2と|b|^2を成分とする行列を考えることにします。 ここでは、ベクトルの外積が行列になることを利用します。それでは、外積で作られる行列のどこにこの成分を割り当てるか考えましょう。うまい方法があります。 外積 |0><0|は、0行0列目の成分だけが1で、残りの成分は全て0の行列です。同様に、外積|1><1|は、1行1列目の成分だけが1で、残りの成分は全て0の行列です。 この時、p_0|0><0| + p_1|1><1|という行列として密度行列を定義します。0行0列目の成分がp_0で、1行1列目の成分がp_1の行列です。 　● 状態ベクトルを使った表示 　　　|qubit> = a|0>+b|1> 　● 密度行列を使った表示 　　　ρ = p_0|0><0| + p_1|1><1| = |a|^2|0><0| + |b|^2|1><1| 状態ベクトルを使った表示に出てくる a, bは複素数ですが、密度行列を使った表示に出てくる p_0, p_1 は、確率ですので 0と1の間に値を持つ実数です。これは、二つの表示スタイルの大きな違いです。 密度行列を作るのに利用した、確率 p_iと状態|ψ_i>のペア { p_i, |ψ_i> }の集まりを、「pureな状態のアンサンブル」といいます。その意味は、この量子システムで、状態|ψ_...
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