enriched category

【 単純な例で enriched category を振り返る 】

このセッションでは、2つのオブジェクト間の射の集合𝐶(𝑦,𝑥)がもはや単なる集合でない場合の、カテゴリー論であるenriched category theoryについて考えます。

そこでは、射の集合𝐶(𝑦,𝑥)自身が、部分順序集合であったり、アーベル群であったり、位相空間であったり、他の何かであったりします。つまり、enrich化されたカテゴリーでは、先のCからSetへのfunctorであるpresheafの構成で、𝑆𝑒𝑡を別のカテゴリーに置き換えることになります。これはベクトル空間𝑘^𝑋との類比では、ベースの体𝑘を変えることに似ています。

新しいベースのカテゴリーが十分に良い構造を持っていれば、CをC上のpresheafで置き換えることについて述べたことは、ほとんど一語一語すべて通用します。

前回のセミナーは、言語のカテゴリーL上の copresheaf Set^L から、単位区間 [0,1] でenrich化された copresheaf [0,1]^L を構成したものです。これは結構複雑でした。

【 単純な例 -- 2-enriched presheaf 】

ここでは、もっと簡単な enriched category の例を考えます。

例えば、 𝖲𝑒𝗍 を、0と1という二つのオブジェクトを持ち、同一射以外の射は、0→1 一つだけである2というカテゴリーに置き換えると、それは、 2-valued presheaves というカテゴリーになります。

この場合、𝐶が 𝑋 = 𝑋^𝑜𝑝なる離散カテゴリー𝑋だとすると、2^𝑋のpresheaf は、{0,1}^X と表せて、正確に X上の {0,1}に値を取る関数（characteristic functionです）に等しくなり、それは、Xの部分集合に等しくなります。

2^𝑋の、それが2-enriched presheafであることによって与えられる構造は、以前に述べた部分集合上のBool 代数だということになります。（ 0をfalse, 1をtrue と考えます）

前回のセミナーで見た、[0,1]^X は、単位区間[0,1]に値を取るpresheaf ですが、{ 0, 1 }^X は、0か1 かの値を取るpresheaf であることに注意してください。（ 角かっこ [ ] と中かっこ{ } の違いです。）

2-enriched presheaf 𝑓と𝑔の、カテゴリー論的 coproduct は、join(union) 𝑓∨𝑔 であり、そのカテゴリー論的 product は meet(intersection) 𝑓∧𝑔 になります。

だから、どんな集合Xに対しても、関数の集合{0,1}^𝑋は、二つの要素からなる体 𝐹_2={0,1} 上のベクトル空間と見ることもできるし、𝟐={0,1}に値を取る、X上のenrich化されたpresheaf とも見ることもできます。

我々が、{0,1}を体と考えるか、あるいは、それを射 0→1 が定義されたカテゴリーだと考えるのか、どちらの見方を取るかに応じて 異なる構造を得るのです。

【 「オブジェクトからオブジェクト上の関数へ」のまとめ 】

𝑋上の “関数”の構造は、本質的に、その関数が何に値を持つかという、値を取る対象の構造に負っています。

例えば、カテゴリーC からSetへのfunctorであるpresheafの性質であるのcomplete性やcocomplete性は、値を取る対象である集合のカテゴリーのcomplete性やcocomplete性に起源をを持っています。

同様に、𝑋から体kへの関数であるベクトル空間での加法やスカラー倍は、関数が値を取る対象である体𝑘の加法や乗法から生まれたものです。

あらためて、このセクションの最初に述べた戦略を確認しましょう。

オブジェクト𝑋の内部構造について少ししか知られていない場合、より多くを学ぶためのアプローチは、𝑋を𝑋上の関数のようなもので置き換え、𝑋の限られた既知の構造が、𝑋の関数上で自由に定義された構造とどのように相互作用するかを研究することである。

特に、どのような対象の中で関数の値を評価し、また、その対象を数学的にどう見るかという選択が必要になります。

【 次回から、「自然言語処理での埋め込み」のセクションに入ります 】

--------------------------------

ショートムービー「 enriched category 」を公開しました。
https://youtu.be/Si--xi-RL4w?list=PLQIrJ0f9gMcOJYKeUN_8q2K-yxtTfbIoB

「 enriched category 」のpdf資料
https://drive.google.com/file/d/1EKnzgmAL4WzDaiGhMxV8dIb5nSnyuj-w/view?usp=sharing

blog 「 単純な例で enriched category を振り返る 」
https://maruyama097.blogspot.com/2024/02/enriched-category.html

「言語の意味の数学的構造」まとめページ
https://www.marulabo.net/docs/embedding-dnn/

ショートムービーの再生リスト
https://www.youtube.com/playlist?list=PLQIrJ0f9gMcOJYKeUN_8q2K-yxtTfbIoB 

コメント

コメントを投稿

このブログの人気の投稿

マルレク・ネット「エントロピーと情報理論」公開しました。

イメージ
前回の秋葉原でのマルレクのネット配信が始まりました。 https://crash.academy/class/156 タイトルを「エントロピーと情報理論 -- 量子情報理論入門 -- 」に変更しました。最初の30分は、無料です。 次回のマルレク「量子コンピュータとは何か？」の導入となるコンテンツです。 講演資料は、こちらです。 https://goo.gl/CKayix  あわせて、ご利用ください。 　　　--------------------------------- 　　　マルレク・ネット　ビデオ・コンテンツ　 　　　--------------------------------- 　「エントロピーと情報理論」 　　　　 https://crash.academy/class/156 　「人工知能の歴史を振り返る」 　　　　 https://crash.academy/class/139/ 　「ニューラル・コンピューターとは何か？」 　　　　 https://crash.academy/class/101/ 　「Google ニューラル機械翻訳」 　　　　 https://crash.academy/class/76/ 　「RNNとLSTMの基礎」 　　　　 https://crash.academy/class/66/
続きを読む

初めにことばありき

旧約の「創世記」の「光よあれ」は、ビッグバンを思わせて、物理学者はちょっと萌えるかもしれないのだが、新約の「ヨハネによる福音書」には、言語学者が喜びそうなフレーズがある。 「初めに言があった。言は神と共にあった。言は神であった。」 僕が知っていたのは、「はじめにことばありき」という訳だったのだが。この口語訳での「言」は、英訳だとこうなっている。 "In the beginning was the Word, and the Word was with God, and the Word was God." 「言」= "Word" である。はじめにあったのは、Wordであって、Language ではない。だから、新しい口語訳では、普段、あまり馴染みない「言」という訳語を使ったのかも。「初めに語があった」では、なんかしまらないんだろうな。（僕は、「はじめにことばありき」というフレーズの方が好きだ。） ちなみに、「ヨハネによる福音書」は、英語では、"Gospel of John" という。「ジョンのゴスペル」である。でも、そう日本語に訳してしまうと、ジョン・レノンがバラードではなく、ゴスペルを歌っているようで、まずいんだろうな。 「ことば」・「言」・"Word" と訳されている、元々の言葉を調べてみると面白い。 キリスト教のオーソドックスな原典であるラテン語訳聖書では、この部分は、こうなる。 "In principio erat Verbum, et Verbum erat apud Deum, et Deus erat Verbum" 「イン・プリンキピオー・エラト・ウェルブム」 英訳 Word のラテン語の原語は、Verbum である。この単語、英語に直訳すれば、Verbである。「初めに、動詞があった。」　言語学の「従属性文法 (Dependency Grammar) 」理論の人たち、喜びそう。 もっとも、英語のVerbは、元々は、動詞というより広く言葉全体をさしてたらしい。そのことは、「ノンバーバル・コミュニケーション (Non-Verbal Communication) 」というのが、動詞を使わないコミュニケーション
続きを読む

人間は、善と悪との重ね合わせというモデルの失敗について

人間は善と悪との「重ね合わせ」だという前回の話は、人間の本性の複雑さを語るのには、ありうる喩えなのかもしれないが、量子の「重ね合わせ」の喩えとしては、実は、二つの点で失敗しているのだ。 一つには、複雑な善と悪との重ね合わせから情報を引き出す「簡単・粗野」な方法として、善か悪かの判断のみを下す「善悪測定器」を、便宜的に導入したのだが、これがマズイ。 複雑な量子の状態を「測定」した時に、我々は、その状態を複雑なまま見いだすことは出来ないのだ。量子が、善と悪との状態の重ね合わせだとしたら、測定によって我々が見いだすのは、必ず、善か悪か、どちらかの状態の量子を見いだす。 もしも、量子が、善悪二つの状態の重ね合わせではなく、もっと沢山の状態（例えば、100個の状態）の重ね合わせの場合でも、我々が「測定」で得られるのは、その中の、たった一つの状態である。 だから、量子の世界では、善か悪かの判断のみを下す「善悪測定器」は、決して「便宜的」なものではなく、これ以外の測定はできないという意味で、「原理的」な制約を表現しているのである。そのことが、先の喩えでは、うまく表現されていない。 量子の不思議さを、「重ね合わせ」の状態が不思議だと思っている人も多いのだが、それは違うと思う。 善と悪との重ね合わせの前回の例もそうだし、波だって、フーリエ変換だって、我々の日常に、たくさん「重ね合わせ」の現象は存在する。それは、ちっとも不思議なことではないし、表象するのも簡単である。 不思議なのは、「重ね合わせ」ではなく、量子に対する「測定」の方なのだ。それは、我々が「測定」に対してもつイメージとは、かけ離れている。量子力学の基礎の部分を構成しているのは、この不思議な「測定」の形式化・数式化なのである。（そして、それは、難しいものではない。今度の「紙と鉛筆」の演習に来て。） 二つ目の失敗も、実は、「測定」の扱いに関係している。 先の例では、丸山は、1,000回ほど「善悪測定器」にかけられ、その結果で、70% 悪人で、30% 善人 だと判定されるみたいな話をした。それが違うのである。 我々が「測定」で得られるのは、「重ね合わせ」を構成する複数の状態の中のたった一つの状態であると書いたのだが、それだけではないのだ。「測定」によって、量子の状態は、「測定」された一
続きを読む