ベクトル空間

【 オブジェクトからオブジェクト上の関数へ 】

あまり情報が与えられない、あるいは不完全な構造を持つ数学的対象𝑋が与えられたとしましょう。

Xを直接調べようとしても、それはXの要素・オブジェクトをいろいろ調べることに帰着するのですが、Xについてよくわからないことが起こります。

そう言う時、構造がよくわかっている対象Yをとって、XからYへの関数 Fun(X)を考えます。Fun(X)はYに値をとりますので、XよりはFun(X)の方が構造がわかりやすいということを期待できると言うことです。

「オブジェクトからオブジェクト上の関数へ」と言うのは、 Xだけに注目するのではなくFun(X)にもっと注目しようと言う視点の転換を促すスローガンだと思っていいと思います。

論文の"Objects Versus Functions on Objects"というセクションでは、こうしたオブジェクト上の関数への注目によって構成された数学的対象の例を三つほど挙げています。

　⚫️ ベクトル空間
　⚫️ (co)presheaf
　⚫️ enriched category

【 ベクトル空間 】

このセッションでは、ベクトル空間の例を取り上げます。

ベクトル空間というのは、ある集合X上で定義された体ｋ（例えば、実数 R とか複素数 C とか）に値を取る関数の集合として、k^X という形で定義されます。

ベクトルは、関数なんです。

古典bit {0,1} から 量子bit { |0>, |1> } への移行も、{0,1}を考えるのではなく{0,1}上で定義関数を考えることへの飛躍として理解できます。次のように。

　f(0)=1, f(1)=0 ; g(0)=0, g(1)=1である関数 f, g を考えて、 f = |0>, g = |1> と考える。

一般に、関数であるケット|i>は (それはケット|i>はベクトルであるというのと同じ意味です)引数j に対して、|i> (j) = 1 ( i = jの時) あるいは |i> (j) = 0 (i =jでない場合) という値を返します。

この量子ビットの例は定義域が{0,1}の例でしたが、任意の集合Xについて値域が{0,1}となる関数の集合も興味深い性質を持っています。Xの要素の上を走り{0,1} に値を持つ関数は、Xの部分集合を定義します。

この関数の集まりは、Bool代数を定義することになります。


【 参考資料 】

ベクトル空間については、 2023年2月のマルレク「密度行列 ρ で理解する確率の世界」を参照してください。 https://www.marulabo.net/docs/density2/ 

このセミナーは、 Tai-Danae Bradleyの2020年の論文 “At the Interface of Algebra and Statistics” 「代数と統計の境界で」  https://arxiv.org/abs/2004.05631 に依拠したものです。

ケット記法については、2020年6月のマルレク「ケット |k> で理解する量子の世界」も参照してください。https://www.marulabo.net/docs/ket-talk/　


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ショートムービー「 ベクトル空間」を公開しました。
https://youtu.be/TnlTlBjXz5s?list=PLQIrJ0f9gMcOJYKeUN_8q2K-yxtTfbIoB

「 ベクトル空間 」のpdf資料 
https://drive.google.com/file/d/1DpIYbrPW-SEPu3OF0CbZBGdKE8yUt88k/view?usp=sharing

blog 「 オブジェクトからオブジェクト上の関数へ 」
https://maruyama097.blogspot.com/2024/02/blog-post_06.html

「言語の意味の数学的構造」まとめページ
https://www.marulabo.net/docs/embedding-dnn/

ショートムービーの再生リスト
https://www.youtube.com/playlist?list=PLQIrJ0f9gMcOJYKeUN_8q2K-yxtTfbIoB 

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