過去・現在・未来

目の前から、人間が作ったもの、人間に関わるものを、すべて消してみましょう。それでも、自然はあるがままの姿で、広がっているように思えます。野に咲く花も、空を飛ぶ鳥も、木々をゆらす風も、夜空の星も。 ただ、そうした空想を行うことが、だんだん、難しくなっています。人間のいない世界のイメージといえば、「廃墟」のイメージを持つ人がむしろ多いかもしれません。それでも自然は残ると僕は思うのですが。それは、私たちの日常的な視界から、自然が見えにくくなっているからだと思います。 一方で、現代は科学の時代だと多くの人が考えています。ただ、科学の主要な対象である自然から、私たちは、どんどん遠ざかっています。そのことは、自然に対する関心だけでなく、いずれ、科学に対する関心をも失わせる力として働くことになると感じています。 科学を私たちにとって疎遠なものにする、もう一つの大きな力があります。 それは、そもそも、科学が歴史的には、冒頭に述べたような素朴な自然観から、自分を意識的に分離することで生まれたことによるものです。 私たちの遠い遠い祖先は、自然と深く結びついていました。というより、圧倒的な自然の力の前に人間は無力でした。ただ、自然に対する畏怖・感嘆の念を持ち得たことは、人間を他の動物とを区別するものです。それは、その後、宗教・芸術・科学等に枝わかれしていく、すべての人間の営みの原始の共通の起源になりました。 時間を何万年か進めます。話は少し飛躍します。 現代では、科学は、主要に「科学者」という専門家集団によって担われています。彼らは、特殊な訓練を受け、特殊な言葉で話します。その言葉は、一般には、わかりにくいものです。 「科学者」が人口に占める割合は、大きなものではありません。おそらく宗教が支配的であった時代、どの村々にも必ず存在していた神職者が人口の中で占めていた比率を上回ることはないと思います。 （科学の世界では、博士号を取得した科学者の卵たちの「過剰」に悩まされています。それは、社会的には「構造的な問題」なのですが、僕は、むしろ、歴史的には必然的な傾向のように考えることができると思っています。） それでは、なぜ、多くの人は、実際にはかなり疎遠なものでしかない科学に対して、現代は「科学の時代」だと考えるのでしょう？ その理由は、明確だと思います。「科学」の応用としての「技術」が、現代の

3月、4月に開催する二つのセミナー「エンタングルする自然 / エンタングルする認識」の参考資料をいくつか紹介したいと思います。 　エンタングルメントの基本 　●「エンタングルメントで理解する量子の世界」           https://www.marulabo.net/docs/entangle-talk/ エンタングルメントの基本的な性質と量子論的な定式化について説明しています。是非、目を通していただければと思います。　 　歴史的背景 　●「コンピュータ・サイエンスの現在 — MIP*=RE定理とは何か？」　　  　　　 　　　 https://www.marulabo.net/docs/cs-mipstar/ 計算可能性理論から複雑性理論の誕生というコンピュータ・サイエンスの歴史の振り返りの中でMIP*=REを位置付けています。 　複雑性理論 　● 「チューリングマシンの拡大と複雑性」 　　　 https://www.marulabo.net/docs/turing-complex/ 第一部の「複雑さについて考える」は、複雑性理論は、どういう問題意識から生まれたものなのか、それがどのように対象を拡大していったかを説明しています。 　Interactive Proof 　●「Interactive Proofと複雑性」 　　　 https://www.marulabo.net/docs/ip-complexity/ Interactive Proofの発展についてです。 　　MIP*=RE 　●「MIP*=RE 入門– Interactive Proofとnonlocal ゲーム」 　　　  https://www.marulabo.net/docs/mipstar/ MIP*=RE定理の概要の説明です。

【「エンタングルする知性」の認識 -- MIP*=RE 】 量子コンピュータの計算能力は、素晴らしいものです。それは、ある問題群（例えば、素因数分解のような）に対しては、古典コンピュータの計算能力の指数関数的高速化を可能にします。 量子コンピュータのアイデアの登場とともに、量子コンピュータが古典コンピュータで解くには指数関数的時間のかかる「NP-完全問題」を多項式時間で解くのではという期待がうまれました。ただ、それは不可能です。 先日の複雑性クラスの関係図を、改めて見て欲しいのですが、「NP-完全」のクラスは、量子コンピュータが多項式時間で解くことができる BQP クラスのはるか外側に存在しています。 今では、GPT3でさえ、「量子コンピューターを使用して、NP完全問題を多項式時間で解決することは可能ですか？」と質問すれば、「量子コンピューターを使用してNP完全問題を多項式時間で解くことはできません。」と答えてくれます。 それでは、量子の力を借りた人間の計算能力拡大の試み、それは人間の認識能力の拡大の試みを意味するのですが、それは現在のスタイルの量子コンピュータの進化の延長上の限界 BQPで頭打ちなのでしょうか？　 もっとも、こうした問題意識自体が、そもそも混乱していることは、次のように考えればわかります。チューリングマシンが多項式時間で計算可能な能力の限界 P は、人間＝機械の双方の計算能力の限界と見做せるのですが、BQPは機械のみが持ちうる能力です。人間は機械の助けなしには単独ではその能力を持つことは出来ません。 ですので、量子の力を借りた人間の認識能力の拡大というのは、量子機械の力を借りた人間の認識能力の拡大に他なりません。人間の認識能力の未来を考えるのなら、裸の人間の生まれ持った能力だけで、人間の認識能力を語ることは出来ないのです。宇宙のどこかには、古典チューリングマシンではなく量子チューリングマシンと同じ計算能力を、単独で生得的に持つ知的生命が存在するかもしれないのですが。 話がSFみたいになってきたのですが、2020年に証明された「MIP*=RE定理」も、それが想定していることを考えれば、SFみたいな話に聞こえるかもしれません。 先に、「数学的全能者」と「人間」の対話によって認識を拡大する枠組みとして「対話型証明  Interactive Proof」を

【 量子コンピュータの能力の認識 -- BQPクラス 】 先に、「人間の能力をコンピュータが超える」という「シンギュラリティ」の議論は、かなり怪しいと書きました。その大きな理由の一つは、「人間の能力」と一括りにするけど、人間の能力は非常に多様で複雑だからです。 例えば、前回の議論では、「全能者」の存在を仮定して「全能者」と「人間」の対話で認識できることを考えようというアプローチを紹介しました。そうした新しい推論方法を思いつく能力を機械が持てるかどうか、僕は懐疑的です。それにしても、そうしたアイデアやそのアプローチで得られる認識結果は、最終的には「人間の能力」に属します。 もっとも僕は、人間の数学的・論理的推論能力に関して言えば、それは機械的なモデルを持つと考えています。それは、おそらくチューリング・マシンの持つ能力に等しいと考えています。また、先日紹介したInteractive Proofのアプローチは、きちんと数学的に定義できます。 人間と機械の能力の比較は、いろいろ難しい問題があるのですが、機械と機械の能力の比較は、どちらも人間が作ったものですので、それよりは簡単にできます。この点で、近年、重要な認識が生まれています。 それは、私たちが普段使っているコンピュータの計算能力を、量子コンピュータの計算能力が上回っている認識が、理論的にだけではなく、実験的にも確立され始めているということです。 私たちが普段使っているコンピュータを「古典コンピュータ」と呼ぶことにします。今使っているものを「古典」と呼ぶのは抵抗があるかもしれませんが。どちらも人間から見れば機械です。どちらも「コンピュータ」と呼ばれます。ただその動作原理は全く異なった機械です。その違いをはっっきりさせるため、「古典」「量子」を頭につけます。 機械だけの世界に限れば、量子コンピュータの登場を、古典コンピュータに対する「シンギュラリティ」と呼ぶことは可能です。機械＝コンピュータの世界では、それは「量子優越性」と呼ばれています。 2019年の10月23日は、特別な日です。それは、Googleが、古典コンピュータに対して量子コンピュータの能力が遥かに高いこと、「量子優越性」を実験的に実証した日です。 この点については、丸山の資料「量子コンピュータの現在 — 量子優越性のマイルストーンの達成 —」https://w

【「全能者」との対話で得られる認識 -- Interactive Proof 】 なんか怪しいタイトルですね。 怪しいついでに、もう一つ怪しい話を。 今から見ればだいぶ前になりますが、「AI=人工知能」の大ブレイクが起きたとき、盛んに使われたのが「シンギュラリティ」という言葉です。機械の知能が人間の知能を超える時がいつか来る。それをこの言葉で呼んでいたように思います。 ただ、この言葉やその意味に、僕はいささか「怪しさ」を感じていました。なにが人間の知能の限界であるのか？　また、シンギュラリティの到来は、機械の知能が人間の知能をどのように超えることを意味しているのか？　当時流行した議論では、そうした基本的なことが、あまりよく考えられていないように感じました。 こうした問題を徹底的に考えるのは意味があることだと、僕は考えています。冒頭のタイトルの「全能者」は、いわば、機械の「シンギュラリティ」をはるかに超えた能力の持ち主です。ただし、「対話型証明 Interactive Proof」に登場する架空の存在です。 「対話型証明 Interactive Proof」というのは、こうした「全能者」と普通の人間が「対話」をしたときに、何が分かるかを考えようという枠組みです。 アーサー王伝説では、アーサーに仕えるマーリンという魔法使いが出てくるのですが、「対話型証明 Interactive Proof」では、「全能者」をマーリン、「全能者」と対話する普通の人間をアーサーと呼ぶことがあります。 アーサー王伝説のマーリンは、魔法使いですので、火を吹く竜を召喚したり、人間を豚に変えたり、文字通りなんでも出来るのですが、Interactive Proofのマーリンは、そういう魔法を使えるわけではありません。 ただ、理論的・数学的能力においては、彼は「全能」です。もし、リーマン予想が正しいのなら、彼はそれを瞬時に証明できます。もちろん、「全能」と言っても、数学的に証明不可能な 1+1=3 を証明できるわけではありません。 Interactive Proofの枠組みでは、「全能者 マーリン」を「証明者 Prover」と呼ぶことがあります。彼は、全知全能で、どんな問題も瞬時に答えを返す能力をもっています。ただし、ここが重要なのですが、彼は誠実ではなく、時々、人を欺く嘘をつきます。 一方の「普通の

【3/27 「楽しい科学」ダイジェスト -- エンタングルメントをめぐるドラマ #2 】 量子論と相対論の「対応」の発見 エンタングルメントの発見をきっかけとした、アインシュタインの量子論批判と、ベルによるそれへの反論、量子論の擁護を見てきました。 ただ、こうした「論争」が、20世紀の科学の主要な関心事だったわけではありません。極微な世界を記述する量子力学と巨大な時空を記述する重力の理論である相対論という二つの物理学理論は、それぞれの領域で、大きな成功をおさめてきました。我々の物質・生命・宇宙に対する理解は、20世紀をつうじて飛躍的に進みました。 ただ、それぞれ異なる理論体系に基づく物理学が二つあるというのは、奇妙なことです。少なくない物理学者が、「これこそが、物理学の中心問題だ」と信じて、量子論と相対論を一つの物理学に「統一」する課題に取り組んできました。ただ、それは、20世紀には成功することはありませんでした。 20世紀も終わりの1997年、マルデセーナは21世紀の物理学の扉を開く重要な発見をします。 それは、d+1次元の時空を記述する重力理論AdS(Anti-de Sitter Space)と、d次元の場の量子理論CFT(Conformal Field Theory)が「対応」していることの発見です。この対応を「AdS/CFT対応」と言います。 この「対応」では、重力理論が d+1次元で量子論がd次元ですので、相対論（重力理論）と量子論の次元が一つずれていることに注意してください。スープの入った缶詰で例えて言えば、相対論は缶のない中身のスープの理論で、量子論はスープのないスープをつつむ缶の理論だと言うことです。 このことは、20世紀の多くの物理学者の努力にもかかわらず、相対論と量子論の「統一」の試みが成功しなかった理由を、ある意味で説明します。二つの理論は、棲んでいる世界の次元が違うのです。ブリキの缶の外側をいくらなぞっても、スープのことはわからないし、逆に、いくらスープを舐めても、缶のことはわからないのと同じです。 それにもかかわらず、重要なことは、二つの理論には「対応」が存在すると言うことです。 マルデセーナの発見は、「スープと缶は、無関係ではなく関係がある。」ということでした。「缶を調べれば、スープのことがわかり、スープを調べれば缶のことがわかる！」

【3/27 「楽しい科学」ダイジェスト -- エンタングルメントをめぐるドラマ #1】 科学の世界は、いろいろなドラマに溢れています。 今回の 3/27「楽しい科学」では、「エンタングルメント」を舞台にしたドラマを紹介したいと思います。https://science-entanglement.peatix.com/ ------------------------------------------------------------ 最初の登場人物はアインシュタインです。彼は、量子論では、二つの量子がもつれあう奇妙な状態が現れることを発見します。1935年のことです。その現象に「エンタングルメント」という名前をつけたのは、シュレディンガーだと言われています。 アインシュタインは、もつれあう量子は強く関連した性質を持ち、一方の性質は他方の性質から簡単に決定できること、そのうえ、こうしたもつれあいは、二つの量子の距離に依存しないことに気付きます。 このことは、二つの量子がどんなに離れていても、一方の量子の状態を観測すれば、テレパシーのように、他方の量子の状態が分かることを意味します。「そんな馬鹿なことはありえない。それだと、光のスピードを超えて情報が伝わることになるじゃないか。」 彼は、量子論が不完全な理論であることを示す「パラドックス」として、「エンタングルメント」を提示したのです。ところが、ボーアをはじめとする量子論の陣営は、このアインシュタインの「量子論批判」を、事実上、無視します。 アインシュタインの「神はサイコロをふらない」という言葉がしめすように、彼は最後まで、量子論に懐疑的であったと言われています。 エンタングルメントをめぐるドラマで、アインシュタインに次ぐ重要な役割を演じる第二の登場人物は、ジョン・ベルです。彼と彼の業績が、多くの人にはあまり知られていないのは、とても残念なことです。 ベルは、アインシュタインらが量子論の不完全さを解決するものとして推進した「隠れた変数」理論を、理論的に否定することに成功します。しかも、自然が、「隠れた変数」理論という古典論に従うか、あるいはエンタングルメントを含む量子論に従うかは、実験的に検証できると指摘します。 事実、アスペたちは、1982年、ベルの主張が正しいことを実験で実証します。ここに、アインシュタインの発見か

3月のマルレクは、「自然科学概論 -- エンタングルする自然」というテーマで行います。 https://science-entanglement.peatix.com/ 21世紀の科学・技術の変化を牽引する力の一つが、「自然の至る所に、エンタングルメントは存在し作用している」という「エンタングルメントの遍在」という認識の拡大だという視点から、新しい自然科学のオーバービューを行いたいと思います。 次のようなトピックスを取りあげる予定です。 　● エンタングルメント小史 -- 「パラドックス」から「原理」へ 　● エンタングルメントの科学的認識の理論へのインパクト 　● 量子通信・量子暗号 -- エンタングルメントの技術的応用 　● 物質理論とエンタングルメント 　● 物理学の新しい展開 -- 時空を生み出すエンタングルメント  それぞれのトピックに深入りはしません。いま、何が起きているか、それがどう言う意味を持っているのかを、「概論」として、わかりやすく伝えられたらと思っています。 今回のセミナーの Hard Coreは、最後の「物理学の新しい展開」のトピックなのですが、その内容は、次のセミナーに引継ぎたいと思います。 　4月 マルレク基礎「シャノンの情報理論を学ぼう！ -- 情報とエントロピー」 　5月 マルゼミ      「物理学の新しい展開 -- 時空を生み出すエンタングルメント 」 ご期待ください。

 【Accountable Nature】 白い大きな壁に「可解」と言う文字が書かれていた。 昨日テレビで見た見た、松山智一の上海での個展の会場の入り口の映像だ。 気になって調べてみる。 「Accountable Nature 自然 --- 可解」と言うのが、個展のタイトルだった。 https://bijutsutecho.com/magazine/news/exhibition/22908 松山は英語がうまい。Accountableを「可解」と訳すのは、あまり見たことがなかったのだが。"Accountable Nature"、面白いコンセプトだと思う。 先の「美術手帖」の解説では、「 自然とデジタル、現実と非現実といったいまの時代を構築する不安定な二項対立を描きだす作品群 」だという。あるいは、作家本人もそう考えているのかもしれないが。 ただ、"Accountable Nature" は、「可解な自然」ではないか？　そこには、「二項対立」はない。 「人間と自然」は、「 いまの時代を構築する不安定な二項対立 」の主要な焦点のひとつだ。科学もまた、人間による自然理解の試みとして、この二項を媒介するものだと、僕は思っている。 「説明可能性」としての"Accountable"は、「ことばで表現できる」ことだ。"Countable"であることもまた、「ことばで表現できる」ことと同義である。「可算＝数え上げることができること」を、countableとかenumerableというのだが、 科学では、「可算」であることは、問題が「可解」であることの条件だ。 もっとも、彼の表現をになっているのは、ことばではない。彼が志向しているのも科学ではないだろう。 だから、僕らは、科学とは限らない人間による自然の表現を、あるいは、自然と人間の媒介を人間に可能にするものは、何かを考えないといけない。 「自然と人間」「科学と表現」「可解なものと不可解なもの」「有限と無限」 ...... たまたま、松山が出ていた前日の番組にBumpの藤原基央が出ていた。この前、引用した詩は、藤原のものだ。藤原と松山は、ほぼ同じ世代だということに気づく。

コロナの年、何をしてきたかまとめてみました。 毎月一回のペースでセミナーを開催しました。 3月以降のセミナーは、全てオンラインでした。 YouTubeの利用を拡大しました。 MaruLabo Top Page    (MaruLaboサイト) Maruyama Lectures 　(YouTubeサイト) 21/02/26 マルゼミ「 チューリングマシンの拡大と複雑性理論 」 20/01/29 マルレク基礎「 チューリングマシンを学ぼう！ 」 20/12/25 マルゼミ「 MIP*=RE入門 」 20/11/27 マルレク「 コンピュータサイエンスの現在 — MIP*=RE定理とは何か 」 20/10/15 マルレク「 量子コンピュータ入門 — 量子コンピュータと人工知能 」 20/09/18 マルレク「 人工知能と計算科学 」 20/08/28 マルゼミ「 量子通信入門 」 20/08/18 公開資料 「 MIP*=RE References 」 20/07/26 マルレク基礎「 エンタングルメントで理解する量子の世界 」 20/06/30 楽しい数学　「 2のn乗の話（チューリングマシンの話） 」 20/06/20 マルレク基礎「 ケット|k> で理解する量子の世界 」 20/05/15 マルレク基礎「 たとえ話で理解する量子の世界 」 20/05/05 マルレク「 AWSでの形式手法の利用 」 20/03/27 マルゼミ「 論理学入門 II — ラムダ計算と関数型言語 」  20/02/17 マルレク「 量子コンピュータの現在 — 量子優越性のマイルストーンの達成 」 20/01/28 マルゼミ「 論理学入門 I 」 19/11/28 マルレク「I T技術とCoqの世界 –証明 = プログラム = 計算の意味を考える 」 19/11/07 ハンズオン「 はじめてのCoq 」

ここでは複雑性理論での「多項式時間」について話してみようと思います。 \(xもx^2もx^3もx\)の多項式です。もっと一般に、\(a_0+a_1x+a_2x^2+a_3x^3+...+a_nx^n \)の形の式を「xの多項式関数」と呼びます。それぞれの項が、\(x^n\)に係数\(a_n\)が掛かった形をしていて、それらの和で表される関数です。xの多項式関数を\(poly(x)\)で表します。 ただ、\(2^xや3^x\)は、xの多項式とは呼びません。\(a^x\)は、aについてみればaの多項式ですがxについてみればxの多項式ではありません。変数xが「x乗」の形である項の肩に現れる関数を「xの指数関数」と言います。 複雑性の理論では、多項式時間で計算される問題のクラスを Pで表します。 ただ、いくつか注意すべきことがあります。 第一に、何についての多項式かを決めておく必要があります。1+1よりは、1000+1000の方が計算には時間がかかります。一般に、入力に与えられるデータが単純なものより複雑なものに計算には時間がかかるはずです。入力の大きさをnで表した時、計算時間をnの関数\(f(n)\)で表します。「多項式時間で計算される」というのは、入力の大きさをnとする時、その計算時間が、多項式\( poly(n)\)で表せるということです。 第二に、注意すべきことは、計算量を時間ではかるには、二つのやり方があるということです。一つは、実際に実行時間を実時間ではかるやり方です。もう一つは、たとえて言えば、コンピュータで何クロックその処理にかかるのかをはかるやり方です。 複雑性理論での時間計算量は、後者のアプローチをとります。計算を、基本的な要素に分解して、その基本操作の何ステップで処理が終わるかで、時間をはかります。正確な定義は後で述べますが、直感的にいうとチューリングマシンの一命令の実行を時間の単位にします。 そうすると面白いことが起きます。 ある問題が多項式時間で計算される複雑性のクラスPに属するとします。ムーアの法則で、コンピュータの処理速度が指数関数的に増大したとしても、基本動作が早くなるだけで、処理に必要なステップが短くなる訳ではありません。ですので、実際の実行時間がいくら速くなっても、その問題が多項式時間のクラスPに属することに変わりはありません。 もっと面

私たちの認識は単純なものから複雑なものに進みます。世界は複雑なものであふれているので、我々の認識もどんどん複雑になっていきます。ただ、こうした私たちの認識の前進がいつまでも続くとは限りません。私たちの認識は、しばしば、複雑さの前に立ちすくみます。複雑なものを理解するのには、長い時間と膨大な知識の集積が必要であることは、科学の歴史を見れば分かります。 僕は、対象の複雑さと認識の複雑さは同じものだと考えています。そうした認識は「複雑さ」そのものを対象とした認識が可能だということを意味します。現代の計算科学のもっとも活発な研究分野はの一つは「複雑性理論」なのですが、そうした理論が登場したことの意味は、そう考えれば、よく理解できると思います。 今回のセミナーでは、様々なチューリングマシンの拡大と複雑性のクラスの対応を紹介したいと思います。次のようなチューリングマシンを取りあげます。 https://turing-complex.peatix.com/view 　● 決定性チューリングマシン 　● 非決定性チューリングマシン 　● 確率性チューリングマシン 　● 量子チューリングマシン 先に、「複雑なものを理解するのには、長い時間と膨大な知識の集積が必要である」と書きましたが、このチューリングマシンによる複雑さのモデルでは、複雑なものを理解するのに必要な「長い時間」がチューリングマシンの「計算時間」に、「膨大な知識の集積」がチューリングマシンの「テープの長さ」に対応すると思って構いません。 「そんな単純化で大丈夫か？」 確かに。 もちろん、科学の歴史をチューリングマシンに喩えようと思っているわけではありません。ただ、こうした単純化（「抽象化」は、単純化に他なりません）された切り口が、「認識の有限性と対象の無限性」「古典論と量子論」「決定論と確率論」といった認識の大きな問題にアプローチする一つの有効な手段を提供するという話ができればと思っています。

有限と無限は対の概念です。英語でも、"finite"と "infinite" と対になっていますね。ただ、有限と無限の対比の仕方は、日本語と英語とでは、少し違います。日本語では、有限は「限界があるもの」で、無限は「限界がないもの」ですが、英語では、「無限」は「有限でないもの」です。日本語の方が、定義が踏み込んでいます。 ここでは、「限界がある」という有限の定義で、有限には、どんな限界があるのかを考えてみましょう。 有限の身近なモデルとして、自然数を考えましょう。ある具体的な自然数nを考えて、nは有限であると考えることは自然なことのように思われます。具体的な自然数を有限のモデルだとして、今度は、有限の「限界」を、どんな自然数nに対しても、n < N なるNが存在することだと考えましょう。有限な自然数には、大きさで超えられない壁があって、それが有限の「限界」だと考えるということです。 ただ、この有限の「限界」の特徴づけは、いくつか奇妙なところがあります。 限界Nが存在して、それが自然数だとします。その時、N+1も自然数で、N < N+1 ですので、限界はNではなく、N+1になります。これは矛盾です。ですから限界Nが、自然数だと考えることはできません。これは、素直に考えれば、最大の自然数は存在しないということです。また、それは、具体的に与えられた自然数nより大きい自然数は「無限」に存在することを意味します。 先に、ユークリッドが素数が無限に存在することの証明を、無限という言葉を使わずに行ったと書きましたが、彼が行ったのは、次のような証明です。基本的には、上と同じ論理です。 最大の素数pが存在するとする。p以下の全ての素数の積に1を加えた数をPとする。Pは、全ての素数で割っても、1が余って割り切れない。よってPは素数で、p < P で、pは最大の素数ではない。これは矛盾。よって、最大の素数は存在しない。 色々奇妙なところもあるのですが、「具体的に与えられた自然数＝有限」というモデルを維持することにこだわりましょう。このモデルは、自然なものにおもえますので。 それでは、この有限のモデルで、その「限界」は、どう考えればいいのでしょう？ 次のようなωを考えます（先に見たように、ωは自然数ではありません）。 　 　「全ての自

無限は、古来から、多くの哲学的・数学的な関心を引き付けてきました。 時間や空間が連続的で無限であると仮定すると引き起こされる「ゼノンの逆理（アキレスはかめに追いつけない）」は有名ですね。 ユークリッドは、素数が無限にあることを証明したのですが、その証明では、慎重に、「無限」という言葉を使うことを避けました。アリストテレスは、もっと踏み込んで、無限について語っています。彼は、無限を「実無限」と「可能的無限」に分けました。 数学では、連続と無限の問題は、ニュートンやライブニッツが微積分法を始めた時にも、「無限大」「無限小」の概念を巡って大きな議論が巻き起こりました。現代の数学の出発点の一つであるカントールの集合論は、無限についての数学といってもいいのですが、ここでも多くの論争がありました。 20世紀になっても、超限解析(Non-Standard Analysis)の登場や、連続体仮説の独立性証明といったトピックでも、議論は尽きません。 物理学についても、現代の物理学の歴史を「連続的なものとの格闘」という視点から振り返った数理物理学者のJohn Baezは、次のように述べています。"Struggles with the Continuum"  https://johncarlosbaez.wordpress.com/2016/09/08/struggles-with-the-continuum-part-1/ 「すべての主要な物理学の理論は、時空が連続的なものであるという想定から生まれる数学的問題に対する挑戦であることを、この一連の投稿でみてきた。連続的なものは、無限によって、我々をおびやかす！　これらの無限は、これらの理論から予測を行う我々の能力を脅かすのだろうか？　あるいは、これらの無限は、こうした理論を正確な形で定式化する我々の能力さえも脅かしているのであろうか？」 こうした無限と連続をめぐる議論は、とても興味深いものです。昨年発見された、MIP*=RE定理も、こうした議論に一石を投じることになるのは確実です。ただ、今回は、そうした議論の紹介は、割愛します。 と言いますのは、今回フォーカスしたいのは、複雑性理論での無限と有限の捉え方だからです。誤解を恐れず単純化していうと、複雑性理論は無限を直接の対象とはしません。複雑性理論がまず関心を持つのは、

As a science fiction writer who began as a fan, I do not use my fiction as a disguised way to criticize the reality of the present. I feel that the greatest appeal of science fiction is the creation of numerous imaginary worlds outside of reality. I’ve always felt that the greatest and most beautiful stories in the history of humanity were not sung by wandering bards or written by playwrights and novelists, but told by science. The stories of science are far more magnificent, grand, involved, profound, thrilling, strange, terrifying, mysterious, and even emotional, compared to the stories told by literature. 一人のファンとして始まったSF作家として、私は、現在の現実を批判するための偽装として自分の創作を利用することはない。SFの最大の魅力は、現実の外に無数の空想世界を作り出すことにあると私は感じている。私は、人類の歴史において、最大の最も美しい物語は、吟遊詩人によって歌われたものでも、戯曲家や小説家によって書かれたものでもなく、科学によって語られたものだと、いつも感じてきた。科学の物語は、はるかに壮麗で、偉大で、感動的で、深遠で、スリリングで、奇妙で、人をおののかせ、神秘的である。それは、文学によって語られる物語たちと比較しても、より感情に訴えるものでさえある。

科学には、いろいろな分野あります。自然科学、社会科学、人文科学 ... 。 ただ、現代では科学といえば、自然科学をさすことが普通なようです。で、他の科学は無視して、今日は自然科学の話をしようと思います。でも、自然科学にも、いろいろあります。数学、物理学、生命科学、情報科学....。 個人的な話ですが、こうして科学の分類をしていくと、実は、僕は困ることになります。さきに、社会科学、人文科学は無視しようと書いたのですが、僕は大学院では、数理哲学を研究していました。哲学は、普通、人文科学ですよね。さらに、僕の入った大学院は、社会学研究科の中に哲学の講座があったので、僕は、社会学の学位をもらうことになります。 最初に、科学という言葉でイメージされているものについて話そうと思います。 科学を、確実にわかっているものたちから、確実だと思われる結果のみを導こうとする方法だと考えるのは、少し窮屈な科学観だと僕は感じています。数学でも、そうです。数学的に正しい命題は、どんな具体的な知識も前提にせずに導かれるという意味では、情報を持ちません。ただ、そうした数学観では、数学の世界はトリビアルなトートロジーの世界になってしまいます。 科学者や数学者を動機づけているのは、そういう研究をしたいということではないと思います。彼らを突き動かしているのは、そこに理解できないこと、一見すると手が出ないほど複雑なこと、とても不思議な「謎」があるということです。科学と科学では解かれていない「謎」があるという認識は、両立可能です。 むしろ、「謎」がない世界では、科学は必要なくなります。だから、なんでも説明できる究極の理論があるとか、全ての「謎」は解けているという主張を、僕は疑います。 類人猿の中から、僕らの祖先が、多分、言語能力の獲得をきっかけに「人類」として独立した時、人間の認識能力は飛躍的に発達しました。アフリカの平原で満点の星空を見て、我々の祖先が感じたものは、無数の「謎」だったと思います。 ただ、彼は「畏怖」の念に打ちひしがれていただけではなかったと思います。「なぜ？」という問いかけは、別の行動を生み出します。おそらく、科学も宗教も哲学も芸術も、プリミティブな形では、別々のものに分離されずに、同時に生まれたと僕は思っています。 科学の源流は古代ギリシャの自然哲学です

今度、山賀さんと「科学と虚構の未来」というテーマで対談をするのだが、こんな質問が。確かに、このテーマなら、今ならある意味ど真ん中の質問なのだと思うのだが、残念ながら、僕は、あまのじゃくなのだ。というか、僕は、シンギュラリティの議論が嫌いなのだ。 「人間より機械が賢くなって、人間が滅びる」？ その辺の機械より人間が愚かになっても人間は滅びるだろう。パイロットが、自分の自殺（なんかおかしい表現）の為に乗客を道連れにする事件があったが、愚かなことだとは思うが、「核」の引き金を引くのは、一人か二人かの人間で十分なのだ。それでも何十億人を道連れにできる。パイロットの「精神鑑定」は強化できるかもしれないが、核を持つ権力者の精神鑑定はできるのだろうか。 「人間を機械が支配するようになる」？ 機械は、人間を支配したがるだろうか？　なんのため？　こうした発想は、支配したがるのは、機械というより人間の発想だと思う。 もしも、人間を機械が支配する世界が来るのなら、その前に、必ず、機械を支配する少数の人間が、多数の人間を支配する段階を経るだろうと僕は思う。そして、そうした過程は、始まっているようにも思う。 機械だけが敵とは限らない。目に見えないウィルスのパンデミックで、人類は滅亡するかもしれないし、それよりもっとずっとありそうなことは、環境問題が深刻化して、地上の生物が絶滅することだ。すでに、その兆候は出ている。多くの種が、かつてないスピードで地上から消えている。この引き金を引いたのは、多くの生物種を道連れにしようとしているのは、我々人間なのは間違いない。 地球の歴史の中で、こうした大量絶滅は何度かあった。それでも、生命は途切れることなく続いてきた。人間が地球からいなくなることが、地球と生命にとって悪いことだとは限らない。 僕は、この宇宙には、「知的な生命体」が無数に存在すると思う。ボエジャーは、いまは、秒速何十キロメーターかで太陽系から飛び出そうとしているが、そこには、宇宙人へのメッセージを刻んだプレートが搭載されていた。そのプレートは、宇宙人の手に渡るだろうか？ その可能性は、落としたクレジットカードが善意の誰かに拾われて本人の元に返る可能性より、ずっとずっと、気が遠くなるほど、ずっと低いと思う。 でも、彼らは、この地球で起きるかもしれないという「シ

翻訳は、基本的には、外国語を母語に変換する。外国語に接する必要がなかったら、翻訳ツールのお世話になることはない。僕のひいおじいさんやひいおばあさんの世代は、おそらく、翻訳の必要はほとんど感じなかったようにも思う。僕の世代の場合は、おじいさんやおばあさんの世代に「敗戦」と「進駐軍」を体験する。外国語事情は、大きく変わる。 ただ、歴史的には、近年の「グローバル化」が始まる遥か以前から、異なる言語を用いる共同体の接触は、珍しいことではなかったと思う。 世界中は同じ言葉を使って、同じように話していた。  ... 主は降って来て、人の子らが建てた、塔のあるこの町を見て、言われた。「彼らは一つの民で、皆一つの言葉を話しているから、このようなことをし始めたのだ。これでは、彼らが何を企てても、妨げることはできない。 我々は降って行って、直ちに彼らの言葉を混乱させ、互いの言葉が聞き分けられぬようにしてしまおう。」 （創世記11章） なんて意地悪な神だと思うのだが。人間だって「互いの言葉が聞き分けられぬ」ままでいたわけはない。異なる言語が接触した場合、直ちに、翻訳の必要性は生まれたはずだ。 そこで一番大事なことは、言語が異なっても、それが伝えようとすることが「同じ意味」を持ちうることを双方が確信することだと、僕は思う。それは、自明のことのように思えるが、とても大事なことだ。 相手が宇宙人であって同じだと、我々人間は考える。 太陽系外に飛び出すパイオニアにもボイジャーにも、宇宙人に向けたメッセージが積まれていた。それが知性を持つ宇宙人に発見される可能性は、我々が異星人からのメッセージを受け取る可能性と同じくらいに低いのだが。 図1は、パイオニアにつまれたプレート。水素の構造、男女の姿、探査機の外形、銀河系中心と14個のパルサーに対する太陽の相対位置、太陽系が描かれている。 図2は、ボエジャーにつまれたゴールデン・レコード。地球上の様々な音や音楽、55種類の言語による挨拶や様々な科学情報などを紹介する写真、イラストなどが収録されている。「ボエジャーのゴールデンレコード」https://goo.gl/5NZ8Wn これらでは、画像・音・科学的な知識が、「共通言語」として想定されているのは興味ふかい。科学的な知識をメッセージに使うというアイデアは、電波を用いた

先の投稿、億単位のパラレル・コーパスを「学習」する機械学習技術にケチをつけるみたいな終わり方をしたので、若干、釈明を。 同じことが人間にできず（人間がこういうスタイルで、言語の「意味」を「学習」しているわけではないのは明らかだと思うのだが）、機械にそれができるのなら、それはそれでもいいのではとは思う。 空を飛ぶのに、生物の進化は昆虫や翼竜や鳥類を生み出したが、人間が発明したのは飛行機だった。同じ目的を達成するのに、生物と人間が発明した機械とが、違うアプローチをとってもいいのだ。 我々が、蝶々や鳥のように空を飛べないのは残念なことだが、空を飛ぶことについては、機械の勝ちかもしれない。翼竜のプテラノドンよりジャンボジェットの方が巨大だし、それに、ロケットなら宇宙にも行ける！　（と言っても、「となり」の火星程度までなのだが） もしも我々が妖精のように自由に空を飛べていたら、「空を飛ぶ機械」の進歩の歴史は、今とは少し違っていたとは思う。（妖精は、自力では火星に行けないもんね。多分。） 機械翻訳に要するデータの巨大さだけに驚いてはいけない。それに必要なハードと計算時間も巨大である。先の論文によれば、Googleニューラル機械翻訳では、GPU100個を使って、フルトレーニングには最大1,000万ステップ、収束までには3週間かかることがあるという。 ただ、巨大さと複雑さで言えば、人間の脳だって負けてはいない。脳には、この銀河系の星の数より多い、860億個のニューロンが存在する。大脳新皮質には100億のニューロンがある。もっとすごいのは、その星の数ほど多いニューロンがお互いに結びついてネットワークを構成していることである。そのグラフなど書けっこない。 （人間の脳の構造と発達については、最近読んだ次の本がとても面白かった。「我々自身を発明する：ティーンエイジャーの脳の秘密の生活」"Inventing Ourselves: The Secret Life of the Teenage Brain" https://goo.gl/RBLn3H いつか紹介したい。） 今はどうなったかわからないが、ついこの間まで、人間が生物のニューロンの正確な接続のグラフを書けたのは、302個のニューロンと8,000のシナプを持つ C-Elegance

12月14日開催の連続ナイトセミナー「人工知能を科学する」の今回のテーマは、「人工知能と哲学」です。https://lab-kadokawa72.peatix.com/ 「人工知能を科学するのに、哲学必要ですか？」と思われた人も少なくないと思います。たしかに。 科学や数学は、確立された体系（少なくとも「これまでに確立された」という意味ですが）を持っています。その成果は、多くの人に等しく共有されています。今では誰もが、「地球が太陽のまわりを回っている」「リンゴが木から落ちるのは重力があるから」と考えています。もちろん「1+1=2」で「直角三角形ではピタゴラスの定理が成り立つ」ことも。そういう知識のあり方を「累積的知」と呼ぶことがあります。 哲学には、残念ながら、確立された体系も万人が認める真理も存在しないように見えます。人によって物事の捉え方が異なるのですから、哲学にも色々な立場があります。「残念ながら」と書きましたが、それはそれでいいことだし、これからも哲学が「完成」するようには思えません。 そうした意味では、科学と哲学は、かなり違っています。 ただ、科学と哲学は、想像以上に広い接点を持っています。それは、おそらく、技術がビジネスや経済合理性と強い結びつきを持っているのと同じだと思います。「科学と哲学」と「技術とビジネス」の二つの結びつきをくらべれば、その結びつきのの質はずいぶん違うし、「科学と哲学」のつながりはあまり意識されることは少ないのですが。 科学も数学も「発展」して、その体系を「更新」します。現在の科学が全ての問題に解答を用意しているわけではないのです。現在の科学では説明できない「謎」の存在こそ、科学を発展させる原動力です。「謎」に立ち向かうには、様々な「立場」、ある場合には矛盾する「仮説」が必要になります。そのような局面では、科学者も哲学していると考えていいのだと、僕は考えています。 今回のセミナーでは、三つの話をしようと思います。 一つ目は、「コンピュータは人間を超える」という「シンギュラリティ論」や、「そんなことはない。人間の脳の働きはコンピュータのアルゴリズムを超えている」というペンローズらの「量子脳」理論を、「計算主義」の立場から批判してみようと思います。 二つ目は、言語の意味の理解を例に、文法の理論と双対の意