functor category と意味

【 John Firthの意味理解をカテゴリー論的に解釈する 】

意味の世界にアプローチする手がかりは、どこかにないでしょうか？　特に、その意味の世界をカテゴリーとして捉えるヒントはどこかにないでしょうか？

このセミナーの中では、意味の世界をカテゴリーとして捉えようとする二つの理論 DisCoCatとQNLPを紹介してきました。そこでは意味の世界は、有限ベクトル空間あるいはヒルベルト空間のカテゴリーとしてモデル化されていました。

また、それらの理論では言語のカテゴリー Lは、pregroup文法に従うものとして、高度に構造化されたものだとされていました。

ただ、それらは、「構造を持たないテキスト」をその入力とするように見える大規模言語モデルの数学的モデルとしては、使いにくいものでした。

【 意味の理論の振り返り 】

改めて、 DisCoCatやQNLP以前の、まだカテゴリー論化されていない意味の理論を振り返ってみましょう。

ここでは、次の二つの意味の理論を、振り返ってみましょう。

　⚫️ 意味の使用説：Wittgenstein
　⚫️ 意味の文脈依存説：Firth

意味の使用説とは、意味はその使用から説明されるべきだ、という考え方です。 Wittgensteinに始まるものです。

　　“meaning of a word is its use in a language”
　　「ある語の意味は、ある言語におけるその使用である」

チューリングは、言葉の意味を知る事は、その用法を知る事だといったヴィトゲンシュタインらの見解に痛烈な皮肉をあぴせています。

すなわち、「機械」や「考える」という言葉の使い方をいくら調べた所で「機械は考える事ができるか」という問の意味も答えも明らかになるわけではない。それとも、「ギャラップの世論調査の様な　統計的研究」が必要という事になるのだろうかと。

Firthは「状況の文脈」という概念で意味の文脈依存的な性質に注目したことで知られ、連語的(collocational)意味に関する彼の研究は、分散意味論の分野で広く認められています。特に、彼は次の有名なことばで知られています。

　　“You shall know a word by the company it keeps”
　　「我々は、ある語を、それが引きつれている仲間たちによって知ることになる。」

【 Firthの解釈をベースに意味を考えてみよう 】

このセッションでは、Firthの解釈をベースに意味を考えてみます。

例えば、語 red が与えられた時、red の「仲間たち」は、red という語を含んだ表現の全体だとしましょう。

言語には、部分文字列の包含関係で preorder ≦が定義できます。category化された言語 L は、このpreorder ≦ を、category Lの射 → とみなしたものです。

category L では、red の「仲間たち」とは、red を始点として、L の射 →　でつながるすべての表現のことです。

【 表現の意味を、 その表現の「仲間たち」の「全体」と考える 】

ここで、ある言語における「表現」（語の並びのことです）の「意味」を、その表現の「仲間たち」のなす「全体」の集まりと考えることにします。

言語のcategory L でこの考えを整理してみましょう。（カッコの中で、カテゴリー化される以前の解釈をしています。）

LのオブジェクトS,T(SもTも語の並びとしての表現です)で、TがSの「仲間」になるのは、S → T なる射が category L に存在する時、かつその時に限ります。（SがTの部分文字列だということです。）

この時、Sと「仲間である」という条件を満たすLの表現全体の集まりを、Sの「意味」と考えるということです。

もう少し例を挙げて説明してみましょう。

category Lのオブジェクトである red という表現をとり、Lの中の任意のオブジェクトy を考えます。Lの射で、red → y という射が存在すれば、そうしたオブジェクトy全体の集合を考え、その集合が、red の意味だと考えるのです。

先に見たredの意味を表す集合は次のように定義されます。
　　{ y ∈ L | ( red → y ) ∈ L }
すなわち、それは、red → y がL の射なら、そうしたLのオブジェクトy をすべて集めたものということです。 

図から。redの意味を表す集合は、次のような要素を含んでいることはわかります。
　　{ red, red ruby, blood red, bright red lipstick, … … }
もっとも、図が、red の仲間たちをすべて列挙しているわけではないので、この要素の並びはまだまだ続くでしょう。

【 意味のcategory Mのオブジェクト 】

これまで、意味のcategory M を構成するオブジェクトの集合を言語のcategory L のオブジェクトと同じオブジェクトから構成されると考えてきました。

それは、それでいいのですが、言語のcategory Lのオブジェクトxを一つとった時、それに対応する意味のcategory M のオブジェクトは、一つのオブジェクトxだけからなるわけではなく、xを含むcategory L の多数のオブジェクトからなる「集合」です。

集合は、その要素をオブジェクトとし、集合の要素間に定義される関数を射と考えると、容易に、それがcategoryの要件を満たすことを示すことができます。集合のcategory をSetで表すことにします。

【 意味のcategory M : L → Set 】

意味のcategory Mは、言語のcategory Lのすべてのオブジェクトxに対して、集合のcategory Set のある要素を割り当てることで構成されます。

これは、 category L からcategory Set へのfunctor とみなすことができます。

Lのオブジェクトxを、その意味を表すcategory Setのあるオブジェクトに割り当てる functor を L(x, − )で表すと、L(x, − ) :  L → Set と表すことができます。

【 functor category 】

重要なことは、functor は、それ自身category とみなすことができるということです。

一般に category C から category D へのfunctor から構成されるcategory を、functor category といい、𝐷^𝐶で表します。（ [C, D] という表記を使うこともあります。）

　⚫️ category 𝐷^𝐶 のオブジェクトは、CからDへのfunctor
　⚫️ category 𝐷^𝐶 の射は、CからDへのfunctor間のnatural transformation 
で、functor category を定義できます。

意味のcategory は、functor category Set^Lで表現できます。

--------------------------------

ショートムービー「 functor category と意味 」を公開しました。
https://youtu.be/CYRYX9NgcVk?list=PLQIrJ0f9gMcPgnaymP8vC37oKdYa5pvDm

「 functor category と意味  」のpdf資料
https://drive.google.com/file/d/1oLadjFIZE30uxd3l3Q48K8VqPKXEHfOZ/view?usp=sharing

blog 「 John Firthの意味理解をカテゴリー論的に解釈する 」
https://maruyama097.blogspot.com/2023/12/functor-category.html

「大規模言語モデルの数学的構造」まとめページ
https://www.marulabo.net/docs/llm-math/


コメント

コメントを投稿

このブログの人気の投稿

マルレク・ネット「エントロピーと情報理論」公開しました。

イメージ
前回の秋葉原でのマルレクのネット配信が始まりました。 https://crash.academy/class/156 タイトルを「エントロピーと情報理論 -- 量子情報理論入門 -- 」に変更しました。最初の30分は、無料です。 次回のマルレク「量子コンピュータとは何か？」の導入となるコンテンツです。 講演資料は、こちらです。 https://goo.gl/CKayix  あわせて、ご利用ください。 　　　--------------------------------- 　　　マルレク・ネット　ビデオ・コンテンツ　 　　　--------------------------------- 　「エントロピーと情報理論」 　　　　 https://crash.academy/class/156 　「人工知能の歴史を振り返る」 　　　　 https://crash.academy/class/139/ 　「ニューラル・コンピューターとは何か？」 　　　　 https://crash.academy/class/101/ 　「Google ニューラル機械翻訳」 　　　　 https://crash.academy/class/76/ 　「RNNとLSTMの基礎」 　　　　 https://crash.academy/class/66/
続きを読む

初めにことばありき

旧約の「創世記」の「光よあれ」は、ビッグバンを思わせて、物理学者はちょっと萌えるかもしれないのだが、新約の「ヨハネによる福音書」には、言語学者が喜びそうなフレーズがある。 「初めに言があった。言は神と共にあった。言は神であった。」 僕が知っていたのは、「はじめにことばありき」という訳だったのだが。この口語訳での「言」は、英訳だとこうなっている。 "In the beginning was the Word, and the Word was with God, and the Word was God." 「言」= "Word" である。はじめにあったのは、Wordであって、Language ではない。だから、新しい口語訳では、普段、あまり馴染みない「言」という訳語を使ったのかも。「初めに語があった」では、なんかしまらないんだろうな。（僕は、「はじめにことばありき」というフレーズの方が好きだ。） ちなみに、「ヨハネによる福音書」は、英語では、"Gospel of John" という。「ジョンのゴスペル」である。でも、そう日本語に訳してしまうと、ジョン・レノンがバラードではなく、ゴスペルを歌っているようで、まずいんだろうな。 「ことば」・「言」・"Word" と訳されている、元々の言葉を調べてみると面白い。 キリスト教のオーソドックスな原典であるラテン語訳聖書では、この部分は、こうなる。 "In principio erat Verbum, et Verbum erat apud Deum, et Deus erat Verbum" 「イン・プリンキピオー・エラト・ウェルブム」 英訳 Word のラテン語の原語は、Verbum である。この単語、英語に直訳すれば、Verbである。「初めに、動詞があった。」　言語学の「従属性文法 (Dependency Grammar) 」理論の人たち、喜びそう。 もっとも、英語のVerbは、元々は、動詞というより広く言葉全体をさしてたらしい。そのことは、「ノンバーバル・コミュニケーション (Non-Verbal Communication) 」というのが、動詞を使わないコミュニケーション
続きを読む

人間は、善と悪との重ね合わせというモデルの失敗について

人間は善と悪との「重ね合わせ」だという前回の話は、人間の本性の複雑さを語るのには、ありうる喩えなのかもしれないが、量子の「重ね合わせ」の喩えとしては、実は、二つの点で失敗しているのだ。 一つには、複雑な善と悪との重ね合わせから情報を引き出す「簡単・粗野」な方法として、善か悪かの判断のみを下す「善悪測定器」を、便宜的に導入したのだが、これがマズイ。 複雑な量子の状態を「測定」した時に、我々は、その状態を複雑なまま見いだすことは出来ないのだ。量子が、善と悪との状態の重ね合わせだとしたら、測定によって我々が見いだすのは、必ず、善か悪か、どちらかの状態の量子を見いだす。 もしも、量子が、善悪二つの状態の重ね合わせではなく、もっと沢山の状態（例えば、100個の状態）の重ね合わせの場合でも、我々が「測定」で得られるのは、その中の、たった一つの状態である。 だから、量子の世界では、善か悪かの判断のみを下す「善悪測定器」は、決して「便宜的」なものではなく、これ以外の測定はできないという意味で、「原理的」な制約を表現しているのである。そのことが、先の喩えでは、うまく表現されていない。 量子の不思議さを、「重ね合わせ」の状態が不思議だと思っている人も多いのだが、それは違うと思う。 善と悪との重ね合わせの前回の例もそうだし、波だって、フーリエ変換だって、我々の日常に、たくさん「重ね合わせ」の現象は存在する。それは、ちっとも不思議なことではないし、表象するのも簡単である。 不思議なのは、「重ね合わせ」ではなく、量子に対する「測定」の方なのだ。それは、我々が「測定」に対してもつイメージとは、かけ離れている。量子力学の基礎の部分を構成しているのは、この不思議な「測定」の形式化・数式化なのである。（そして、それは、難しいものではない。今度の「紙と鉛筆」の演習に来て。） 二つ目の失敗も、実は、「測定」の扱いに関係している。 先の例では、丸山は、1,000回ほど「善悪測定器」にかけられ、その結果で、70% 悪人で、30% 善人 だと判定されるみたいな話をした。それが違うのである。 我々が「測定」で得られるのは、「重ね合わせ」を構成する複数の状態の中のたった一つの状態であると書いたのだが、それだけではないのだ。「測定」によって、量子の状態は、「測定」された一
続きを読む