ゼータ関数とメビウス関数

【 ゼータ関数とメビウス関数 】

今回のセッションでは、古典的数論の世界での、リーマンのゼータ関数𝜁(𝑛)とメビウスのメビウス関数𝜇(𝑛)の関係を見ていきたいと思います。今回扱うのは、そのうちの最も基本的なものです。

残念ながら、古典的数論的なゼータ関数とメビウス関数の理論と現代のマグニチュード論との関係は、直観的に明らかなわけではありません。レンスターは次のように理論の流れを説明しています。

「1830年代の数論的なメビウス反転の理論は、1960年代 Rotaによって半順序集合のメビウス反転の理論として発展した。1970-80年代、LerouxやHaighによって、カテゴリー論上のメビウス反転の理論が展開され、さらに理論は進展した。この論文は、最近の二つの理論に橋をかけることを目的としている。」

【 マグニチュード関連論文でのゼータ関数とメビウス関数の利用 】

先に紹介したレンスターの論文は、2012年のもので、彼がマグニチュード論の構築に取り掛かり始めた時期のものです。その頃から、彼がマグニチュード論とゼータ関数とメビウス関数との関連について意識していたことがわかります。

といっても、まだまだ語るべきことは多数あって、僕が説明すべき空白が埋められたわけではないのですが、一つ留意してほしいことがあります。

それは、レンスターにしろBradleyにしろ、マグニチュードに関連した論文に、ゼータ関数やメビウス関数という言葉が普通に登場することです。これらは、有名なリーマンのゼータ関数やメビウスの数論的反転公式とどこかで繋がっているのです。

たとえば、前回のセッションで、行列のマグニチュードを表す式を紹介しました。そこでは、一般の正方行列をゼータ ζで表し、そのマグニチュードが、ζ^{−1}を使って表現されていました。

今回のセッションで見ていくゼータ関数 ζ(s) とメビウス関数の基本的な関係も、ゼータ関数 ζ(s)の逆数 ζ^{−1} を使って表現されます。

ま、一方は一般の正方行列にゼータ ζという名前をつけて、その逆行列をとっているだけで、他方は、リーマン・ゼータそのものの逆数なので、全く違うと思っていいのですが、いろいろ気になるかもしれません。

今回のセミナーの主題であるBradleyの論文には、（マグニチュードの理論バージョンの）ゼータ関数とメビウス関数について多数の言及があります。こちらについては、今回のセミナーのPart 3で、おいおい説明していく予定です。

【 今回のセッションの目標 】

今回のセッションでは、冒頭に述べたように、古典的数論的なレベルで、リーマン・ゼータ関数とメビウス関数の基本的な関係を明らかにすることを目標にしています。

その詳細については、長い式を変形していきますので、ビデオあるいはスライド pdf を参照ください。

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blog 「 ゼータ関数とメビウス関数 」
https://maruyama097.blogspot.com/2025/10/blog-post_05.html

スライド「 ゼータ関数とメビウス関数 」のpdf ファイル
https://drive.google.com/file/d/10k1F9hEzvq6gkSxrEOaCgIzTQdYJKomi/view?usp=sharing

セミナーのまとめページ
https://www.marulabo.net/docs/llm1bradley/

セミナーに向けたショートムービーの再生リスト
https://www.youtube.com/playlist?list=PLQIrJ0f9gMcMBg47ryEOaF7o6TDZgipNN

ショートムービー「 ゼータ関数とメビウス関数 」
https://youtu.be/wEtGBgEE0Z0?list=PLQIrJ0f9gMcMBg47ryEOaF7o6TDZgipNN

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