図形としてのラティス、数学的対象としてのラティス

【 図形としてのラティス、数学的対象としてのラティス 】

ラティスとは、「格子」のことです。

ただ、格子というと、僕は、格子戸や障子の桟をイメージしてしまうのですが、ラティスというのは、空間上に規則的に格子状に配置された「点の集合」のことです。点と点を結ぶものは、ラティスには含まれません。

問題は、この図形（と言っても、点の集まりですが）が、とても規則正しく感じられることです。今回、ラティスの例として最初に取り上げたものは、単純なもので、その規則性は、座標を入れれば、x座標もy座標も整数の値だけを取ることによっています。ただ、全てのラティスが整数値の座標を取るわけではありません。

ここでは、二つのベクトルb1とb2の整係数の線型結合で表される点の集まりとして、ラティスを捉える見方を紹介しています。座標が整数になることではなく、二つのベクトルの整数倍の和が、ラティスを構成します。ここでも、ベクトルの係数として、二つの整数が登場します。

こうした、図形上のラティスの点の集合全体を生成できるベクトルを、ラティスの「基底」と呼びます。

図形としてラティスが与えられたとしても、実は、その基底は一種類とは限りません。ただ、基底が与えられれば、そのラティスは一意に決定されます。

図形として簡単に把握できるのは、二次元か三次元までだと思います。時間を入れて四次元までは頑張ればいけるかも。ただ、10次元と11次元の違いは、物理学的に意味があると言われても、直感には響きません。

その上、暗号理論で使われるラティスは、RSA暗号のキーの長さと同じくらいの 512とか1024とかの次元を持ちます。こうした次元では、図形としてラティスを把握するのは不可能です。

そういう時には、数学を使います。ですので、ラティスを図形としてではなく、数学的対象として捉えること、ラティスの数学的特徴づけを理解することは、とても大事です。

ただ、面白いことがわかります。

ラティス暗号の説明に、512次元の図形を使う人はいません。

それは、二次元のラティス、要するに紙の上で書かれる図形としてのラティスが、高次元の数学的対象としてのラティスを理解するのに十分な情報を与えてくれるからです。

図形に対する直観は大事なものです。に次元のラティスはわかりやすいものです。そのうえ、ラティスの数学の基礎は、簡単な線形代数です。

ちょっと面倒な複雑性の議論をスキップすれば、ラティス暗号を理解するのは、難しいことではないと思います。

−−−−−−−−----- 動画 「ラティスとは何か -- 格子点を表現する」を公開しました。 https://youtu.be/4SBxr9xiHAQ?list=PLQIrJ0f9gMcMOiLc6py4lKrk3xAG_g0FH

この動画のスライドのpdf https://drive.google.com/file/d/1Qe_6HyIKpB8b_13zPGT4Y53rlRDkPRCg/view?usp=sharing 関連blog 「図形としてのラティス、数学的対象としてのラティス」 https://maruyama097.blogspot.com/2022/08/blog-post_19.html このセミナー「ポスト量子暗号技術の現在」のまとめページ https://www.marulabo.net/docs/cipher2/ セミナーの申し込み https://cipher2.peatix.com/view