closed commutative monoidal preorder と internal hom

【 すごいのかすごくないのか？ 】

前回のセッションで、単位区間[0,1]がcommutative monoidal preorder であることを見てきました。

素晴らしい！　

本当かな？　実際の舞台裏を見ると、「monoidal product ⊗ を普通の実数間の掛け算とし、monoidal unit を 1 とし、preorderの順序関係 ≤ を 通常の実数間の大小関係とする」解釈をするってことですね。

というのは、そのまんまの普通の区間[0,1] じゃないかと思われたかもしれません。確かに。やさしいことを難しくむずかしく言っているだけかも知れません。

ただ、こうした見方には、意味があります。

この論文の基本的な狙いは、セミナーの第一部で見てきた代数的な言語理論に、確率概念を導入しようとする事です。確率的なものの見方は欠けているのですが、copresheaf を意味のカテゴリーとして捉えようというアプローチは魅力的なものでした。

第一部で紹介したcopresheaf意味論の枠組みを維持したまま、確率概念を導入する為の方法としてこの論文が選んだことは、enriched categoryの理論を用いることでした。

以前の枠組みのカテゴリーの射を、新しいカテゴリーの[0,1]の確率を表す値を取る射に置き換えること。それは、元のカテゴリーを単位区間[0,1]でenrich化することに他なりません。

冒頭で述べた、すごいのかつまらないのかわからない到達点は、あるカテゴリーを確率[0,1]でenrich化出来ることを、カテゴリー論の言葉で述べたものです。その意味では、この論文の目的への第一歩としては、大きな意味を持っています。

今回のセッションでは、単位区間[0,1]がcommutative monoidal preorder であるという議論をもう一歩進めます。その為に、commutative monoidal preorder の仲間である closed commutative monoidal preorderというカテゴリーを導入します。

このカテゴリーの面白いところは、それ自身enrichするカテゴリーであるcommutative monoidal preorder の内部に、enrichする射の構造を定義できるということです。

[x,y]で表されるこの射を、internal hom と呼びます。それは次の条件で定義されます。

　　𝑥⊗𝑦 ≤ 𝑧  𝑖𝑓 𝑎𝑛𝑑 𝑜𝑛𝑙𝑦 𝑖𝑓  𝑥 ≤ [𝑦,𝑧]

commutative monoidal preorder V がenrichするカテゴリーである条件は、前回見たように、その V−hom C(x,y)が 次の形をしていることです。

　　1 ≤ 𝐶(𝑥,𝑥)
　　𝐶(𝑦,𝑧) ⊗ 𝐶(𝑥,𝑦) ≤ 𝐶(𝑥,𝑧)

今回のセッションの主要な内容は、先のinternal hom の定義から、これと同等な

　　1  ≤  [𝑥, 𝑥]　
　　 [𝑦, 𝑧] ⊗ [𝑥, 𝑦]  ≤  [𝑥, 𝑧] 

の形が導かれることを示すことです。

−−−−−−−−−−−−−−
ここまでで、カテゴリーのenrich化の基本的なことは、見てきました。
次回からは、カテゴリー論的言語理論に帰って、それへの確率の導入を可能にする 単位区間[0,1]でのカテゴリー論的言語理論の enrich化の話題に入ろうと思います。


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ショートムービー「 closed commutative monoidal preorder と internal hom 」を公開しました。
https://youtu.be/Z1uiInfk6KQ?list=PLQIrJ0f9gMcPmrJ3B0LEXJ_SHPP-ak_hw

「closed commutative monoidal preorder と internal hom」のpdf資料
https://drive.google.com/file/d/1C8GhpWQHyFGjgpjWFJUN57MgSohvVMUb/view?usp=sharing

blog 「 すごいのかすごくないのか？ 」
https://maruyama097.blogspot.com/2024/01/closed-commutative-monoidal-preorder.html

「大規模言語モデルの数学的構造 II」まとめページ
https://www.marulabo.net/docs/llm-math2/

ショートムービーの再生リスト
https://www.youtube.com/playlist?list=PLQIrJ0f9gMcPmrJ3B0LEXJ_SHPP-ak_hw

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