ローヴェールが考えたこと

【 ローヴェールが考えたこと 】

このセッションでは、理論とモデルの関係を、カテゴリー論的にとらえなおしたLawvereのFunctorial Semantics を紹介します。

このFunctorial Semantics は、ことばとその意味に、数学的モデルを与えようとする今回のセミナーの基本的なツールとなります。

数学は、一般的には抽象的な議論を積み重ねていきます。カテゴリー論と呼ばれる数学の分野は、そのなかでももっとも抽象的なものかもしれません。

ある人は、カテゴリー論を"general abstract nonsense"な数学だと言いました。それは、一般化と抽象化を進めて、ついには、何の役にも立たないナンセンスなものになってしまった数学がカテゴリー論だということです。

ローヴェールは、現代のカテゴリー論の始祖の一人なのですが、最初から少し違ったことを考えていたと思います。彼は、抽象的な形式を取る数学にも、そうした数学を生み出す「背景」があると考えます。その「背景」は、数学者がある数学理論を、一般化・抽象化を通じてを完成させる、その以前から存在するものです。

そうした「背景」の一つが、集合論です。集合に対する直観は、決して抽象的なものではなく、具体的なものです。ほとんどの数学理論は、集合論の上で解釈されます。

ローヴェールは、カテゴリーCからカテゴリーDへの、構造を保存するようなFunctor Fは、Dの中でCのある「解釈」を与えることに気づきます。このとき、カテゴリーDは、カテゴリーCより、「具体的」だと考えることができます。

カテゴリーCが記号の結合方法を抽象的な”Syntax”として記述し、カテゴリーDは、その具体的な解釈を”Semantics”として与えるということです。

ルールの世界 vs, たとえの世界
理論 vs. モデル
syntax vs. semantics

こうした流れの上で、
grammar vs. meaning
を考えていきたいと思います。

--------------------------------

「 Functorial Semantics 」 を公開しました。
https://youtu.be/Gt4y5cmqwf8?list=PLQIrJ0f9gMcN2nXtvKCK4ApBaVglV8Drx

スライドのpdf
https://drive.google.com/file/d/1RI6z5Ub_ucZLHiDHdV9t6bKtztPO6DjP/view?usp=sharing

blog：「ローヴェールが考えたこと」
https://maruyama097.blogspot.com/2022/12/blog-post_05.html

まとめページ「ことばと意味の「構成性」について 」

参考資料
F. William Lawvere
Functorial Semantics of Algebraic Theories,





コメント

コメントを投稿

このブログの人気の投稿

マルレク・ネット「エントロピーと情報理論」公開しました。

イメージ
前回の秋葉原でのマルレクのネット配信が始まりました。 https://crash.academy/class/156 タイトルを「エントロピーと情報理論 -- 量子情報理論入門 -- 」に変更しました。最初の30分は、無料です。 次回のマルレク「量子コンピュータとは何か？」の導入となるコンテンツです。 講演資料は、こちらです。 https://goo.gl/CKayix  あわせて、ご利用ください。 　　　--------------------------------- 　　　マルレク・ネット　ビデオ・コンテンツ　 　　　--------------------------------- 　「エントロピーと情報理論」 　　　　 https://crash.academy/class/156 　「人工知能の歴史を振り返る」 　　　　 https://crash.academy/class/139/ 　「ニューラル・コンピューターとは何か？」 　　　　 https://crash.academy/class/101/ 　「Google ニューラル機械翻訳」 　　　　 https://crash.academy/class/76/ 　「RNNとLSTMの基礎」 　　　　 https://crash.academy/class/66/
続きを読む

初めにことばありき

旧約の「創世記」の「光よあれ」は、ビッグバンを思わせて、物理学者はちょっと萌えるかもしれないのだが、新約の「ヨハネによる福音書」には、言語学者が喜びそうなフレーズがある。 「初めに言があった。言は神と共にあった。言は神であった。」 僕が知っていたのは、「はじめにことばありき」という訳だったのだが。この口語訳での「言」は、英訳だとこうなっている。 "In the beginning was the Word, and the Word was with God, and the Word was God." 「言」= "Word" である。はじめにあったのは、Wordであって、Language ではない。だから、新しい口語訳では、普段、あまり馴染みない「言」という訳語を使ったのかも。「初めに語があった」では、なんかしまらないんだろうな。（僕は、「はじめにことばありき」というフレーズの方が好きだ。） ちなみに、「ヨハネによる福音書」は、英語では、"Gospel of John" という。「ジョンのゴスペル」である。でも、そう日本語に訳してしまうと、ジョン・レノンがバラードではなく、ゴスペルを歌っているようで、まずいんだろうな。 「ことば」・「言」・"Word" と訳されている、元々の言葉を調べてみると面白い。 キリスト教のオーソドックスな原典であるラテン語訳聖書では、この部分は、こうなる。 "In principio erat Verbum, et Verbum erat apud Deum, et Deus erat Verbum" 「イン・プリンキピオー・エラト・ウェルブム」 英訳 Word のラテン語の原語は、Verbum である。この単語、英語に直訳すれば、Verbである。「初めに、動詞があった。」　言語学の「従属性文法 (Dependency Grammar) 」理論の人たち、喜びそう。 もっとも、英語のVerbは、元々は、動詞というより広く言葉全体をさしてたらしい。そのことは、「ノンバーバル・コミュニケーション (Non-Verbal Communication) 」というのが、動詞を使わないコミュニケーション
続きを読む

人間は、善と悪との重ね合わせというモデルの失敗について

人間は善と悪との「重ね合わせ」だという前回の話は、人間の本性の複雑さを語るのには、ありうる喩えなのかもしれないが、量子の「重ね合わせ」の喩えとしては、実は、二つの点で失敗しているのだ。 一つには、複雑な善と悪との重ね合わせから情報を引き出す「簡単・粗野」な方法として、善か悪かの判断のみを下す「善悪測定器」を、便宜的に導入したのだが、これがマズイ。 複雑な量子の状態を「測定」した時に、我々は、その状態を複雑なまま見いだすことは出来ないのだ。量子が、善と悪との状態の重ね合わせだとしたら、測定によって我々が見いだすのは、必ず、善か悪か、どちらかの状態の量子を見いだす。 もしも、量子が、善悪二つの状態の重ね合わせではなく、もっと沢山の状態（例えば、100個の状態）の重ね合わせの場合でも、我々が「測定」で得られるのは、その中の、たった一つの状態である。 だから、量子の世界では、善か悪かの判断のみを下す「善悪測定器」は、決して「便宜的」なものではなく、これ以外の測定はできないという意味で、「原理的」な制約を表現しているのである。そのことが、先の喩えでは、うまく表現されていない。 量子の不思議さを、「重ね合わせ」の状態が不思議だと思っている人も多いのだが、それは違うと思う。 善と悪との重ね合わせの前回の例もそうだし、波だって、フーリエ変換だって、我々の日常に、たくさん「重ね合わせ」の現象は存在する。それは、ちっとも不思議なことではないし、表象するのも簡単である。 不思議なのは、「重ね合わせ」ではなく、量子に対する「測定」の方なのだ。それは、我々が「測定」に対してもつイメージとは、かけ離れている。量子力学の基礎の部分を構成しているのは、この不思議な「測定」の形式化・数式化なのである。（そして、それは、難しいものではない。今度の「紙と鉛筆」の演習に来て。） 二つ目の失敗も、実は、「測定」の扱いに関係している。 先の例では、丸山は、1,000回ほど「善悪測定器」にかけられ、その結果で、70% 悪人で、30% 善人 だと判定されるみたいな話をした。それが違うのである。 我々が「測定」で得られるのは、「重ね合わせ」を構成する複数の状態の中のたった一つの状態であると書いたのだが、それだけではないのだ。「測定」によって、量子の状態は、「測定」された一
続きを読む