君は「ゲーデルの完全性定理」を知っているか？
【 君は「ゲーデルの完全性定理」を知っているか？ 】
「ゲーデルの完全性定理？」ミスタイプではありません。
「ゲーデルの不完全性定理」は有名なのですが、それは数学的証明の原理的限界を示したもので、何か新しいことを数学的に証明するには、ほとんど役に立たないのです。
ゲーデルには彼の名前がついた「完全性定理」という定理があるのです。ゲーデルの「完全性定理」は、後で述べる「モデル論」の基礎として、20世紀の数学に大きな影響を与えます。
前回、小学生の算数を例に、「ルールの世界」と「たとえの世界」があることを話しました。今回のセッションのテーマである「理論」と「モデル」は、この「ルールの世界」と「たとえの世界」を数学的に定式化したものです。
「理論」の世界では、ある命題φが成り立つのは、この理論の中で、命題φが証明される場合に限ります。「モデル」の世界では、ある命題φが妥当することが、何らかの形で（証明を介さずに）与えられています
理論とモデルの関係を、「すべてのモデルで真になる命題は、一階の述語論理で証明可能である」という形で初めて述べたのは、ゲーデルです。これをゲーデルの「完全性定理」といいます。ゲーデルの完全性定理は、次のようにも言い換えられます。「ある理論が無矛盾ならば、その理論はモデルを持つ。」
理論とモデルの関係を示す、このゲーデルの定理は、とても重要なものです。なぜなら、理論にモデルを与えるということは、理論を拘束する「証明可能性」の束縛をいったん離れて、理論に可能な解釈を与えることだからです。それは、理論の意味を、別の言葉で別の視点で考えることを可能にします。
「非ユークリッド的幾何学の発見」「非カントール的集合論の発見」という、19世紀、20世紀の数学史上の 大発見は、 それまでの理論の内部の演繹の結果としてではなく、 理論に対してそのモデルを考える ことで見出されていることに注目しましょう。
それは、理論のモデルを通じて、 理論の意味するものを考えるということが、 理論の大きな飛躍を生み出すということを示しています。 それはまた、理論のモデルと目された 実在的対象としての自然に対する 認識の飛躍をもたらしました。
詳しいことは、スライドとビデオを参照ください。
ただ、それはまだ、数学や物理学の 内部の出来事でした。 理論とモデルの関係が、今回のセミナーのテーマである、 意味の理論の基礎であるというという認識は、 必ずしも、明確だったわけではありません。
それには、さらなる飛躍が必要でした。
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